انتگرال جز صحیح – به زبان ساده با مثال و تمرین


تابع جز صحیح هر مقداری را تبدیل به کوچکترین عدد صحیح مجاورش می‌کند. در این مطلب از مجله فرادرس به محاسبه انتگرال جز صحیح می‌پردازیم که باید با توجه به تعریف تابع جزء صحیح آن را در بازه‌های قرار دهیم که مقدار تابع جز صحیح عدد صحیح شود سپس به راحتی می‌توانیم انتگرال آن را حساب کنیم. همچنین انتگرال جز صحیح را با روش‌های مختلف انجام خواهیم داد و در ادامه جدول انتگرال‌های توابع مهم را ارائه خواهیم کرد. پس اگر به این موضوع علاقه‌مند هستید این مطلب را تا آخر مطالعه کنید.

تعریف تابع جزء صحیح

شکل کلی توابع جز صحیح به صورت زیر است.

$$y=(x)$$

برای یادگیری بهتر تابع جزء صحیح می‌توانید فیلم آموزش ریاضی پایه دانشکاهی فرادرس را از لینک زیر مشاهده کنید.

فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی در فرادرس

کلیک کنید

تابع جز صحیح، تابعی با خروجی‌های صحیح است. این تابع  ورودی دلخواه (حقیقی) را به کوچک‌ترین عدد صحیح مجاور تبدیل می‌کند.

معرفی انتگرال

انتگرال ارتباط نزدیکی با مشتق دارد، در واقع انتگرال عکس مشتق به شمار می‌رود.

$$\int f'(x) dx = f(x) + c$$

برای یادگیری بیشتر انتگرال می‌توانید فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ فرادرس را از لینک زیر مشاهده کنید.

فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ + حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد در فرادرس

کلیک کنید

از دیدگاه هندسی، مساحت زیر یک منحنی را می‌توان با انتگرال گرفتن از آن تابع محاسبه کرد.

چگونه انتگرال جز صحیح را حساب کنیم؟

همان‌طور که پیش‌تر اشاره شد، برای محاسبه انتگرال شامل تابع جژ صحیح باید ابتدا تابع جزء صحیح را به نحوی داخل بازه‌های تعیین شده در انتگرال محاسبه کنیم که حاصل آن یک عدد صحیح شود و بتوانیم آن را از انتگرال خارج کنیم. سپس می‌توانیم انتگرال باقی‌مانده را به روش مناسب حل کنیم. در نتیجه از آنجا که محاسبه انتگرال جز صحیح نیازمند تعیین بازه است، تمام انتگرال‌های این مطلب، معین خواهند بود. به مثال‌های زیر درمورد شیوه محاسبه انتگرال شامل تابع جزء صحیح توجه کنید.

مثال اول انتگرال جز صحیح

می‌خواهیم مقدار انتگرال معین زیر را حساب کنیم.

$$\int_{0}^{2} (x)dx$$

پاسخ:

با توجه به تعریف تابع جزء صحیح، باید تابع را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی  شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(x)=0 &\Leftrightarrow & 0\leq x<1 & \\ (x)=1 & \Leftrightarrow& 1\leq x<2 & \\\end{matrix}}$$

سپس می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و انتگرال را مطابق بازه‌های فوق تفکیک می‌کنیم.

$$\int_{0}^{1} 0dx+\int_{1}^{2} 1dx$$

بنابراین خواهیم داشت:

$$\int_{0}^{2} (x)dx=0+x|_{1}^{2}=2-1=1$$

مثال دوم انتگرال جز صحیح

انتگرال $$\int_{0}^{4} (\frac{x}{2})dx$$ را حساب کنید.

پاسخ:

مطابق تعریف تابع جز ء صحیح، ابتدا باید تابع را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی  شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(\frac{x}{2})=0 &\Leftrightarrow & 0\leq x<2 & \\ (\frac{x}{2})=1 & \Leftrightarrow& 2\leq x<4 & \\\end{matrix}}$$

در مرحله بعد می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و انتگرال را مطابق بازه‌های فوق تفکیک می‌کنیم.

$$\int_{0}^{2} 0dx+\int_{2}^{4} 1dx$$

در نتیجه خواهیم داشت:

$$\int_{1}^{3} (\frac{x}{2})dx=0+\int_{2}^{4} 1dx=x|_{2}^{4}=4-2=2$$

مثال سوم انتگرال جز صحیح

می‌خواهیم مقدار انتگرال معین زیر را حساب کنیم.

$$\int_{-1}^{2} x^2\times(3x)dx$$

پاسخ:

ابتدا باید بازه‌ها را طوری تفکیک کرد تا خروجی تابع جزء صحیح یک عدد صحیح شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(3x)=-3&\Leftrightarrow & -1\leq x<0 & \\ (3x)=0 & \Leftrightarrow& 0\leq x<1 & \\ (3x)=3 & \Leftrightarrow& 1\leq x<2 &\\\end{matrix}}$$

سپس می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و مقدارش را در تابع بیرونی ضرب کنیم و انتگرال را مطابق بازه‌های فوق تفکیک کنیم.

$$\int_{-1}^{0} x^2\times (-3)dx+\int_{0}^{1} x^2\times (0)dx+\int_{1}^{2} x^2\times (3)dx$$

بنابراین خواهیم داشت:

$$\int_{-1}^{2} x^2\times(3x)dx=-x^3|_{-1}^{0}+0+x^3|_{1}^{2}=1+8-1=8$$

مثال چهارم انتگرال جز صحیح

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\int_{1}^{3} (x) lnxdx$$

پاسخ:

با توجه به تعریف تابع جزء صحیح، باید تابع را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(x)=1&\Leftrightarrow & 1\leq x<2 & \\ (x)=2 & \Leftrightarrow& 2\leq x<3 & \\\end{matrix}}$$

در مرحله بعد می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و در تابع لگاریتمی ضرب کنیم و بعد انتگرال را مطابق بازه‌های فوق تفکیک می‌کنیم.

$$\int_{1}^{2} (1)lnxdx+\int_{2}^{3} (2)lnxdx$$

در نتیجه حاصل انتگرال به صورت زیر خواهد شد:

$$\int_{1}^{3} (x) lnxdx=(xlnx-x)|_{1}^{2}+(xlnx-x)|_{2}^{3}=2ln2-2-(ln1-1)+3ln3-3-(2ln2-2)=2ln2-ln1-1+3ln3-2ln2-1=3ln3-2$$

مثال پنجم انتگرال جز صحیح

می‌خواهیم مقدار انتگرال معین زیر را حساب کنیم.

$$\int_{0}^{2\pi}x (\sin x)dx$$

پاسخ:

ابتدا باید بازه‌ها را طوری تفکیک کرد تا خروجی تابع جزء صحیح که یک تابع سینوسی است، یک عدد صحیح شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(\sin x)=0 &\Leftrightarrow & 0\leq x<\pi/2 & \\ (\sin x)=1 & \Leftrightarrow& \pi/2\leq x<2\pi & \\\end{matrix}}$$

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید انتگرال به ۲ بازه تفکیک شد. سپس می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و مقدارش را در تابع بیرونی ضرب کنیم.

$$\int_{0}^{2\pi}x (\sin x)dx=\int_{0}^{\pi/2} (0)xdx+\int_{\pi/2}^{2\pi} (1)xdx$$

بنابراین حاصل انتگرال به صورت زیر خواهد شد:

$$\int_{0}^{2\pi}x (\sin x)dx=(\frac{x^2}{2})|_{\pi/2}^{2\pi}=\frac{15\pi ^2}{8}$$

مثال ششم انتگرال جز صحیح

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ \int_{-1}^{2} ( x^2)\sin x\,dx$$

پاسخ:

طبق تعریف تابع جز ء صحیح، ابتدا باید تابع $$x^2$$ را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(x^2)=1 & \Leftrightarrow& -1\leq x<0 & \\ (x^2)=0 & \Leftrightarrow& 0\leq x<1 & \\ (x^2)=1 & \Leftrightarrow& 1\leq x<2 & \\\end{matrix}}$$

سپس می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و در تابع سینوسی ضرب کنیم و بعد انتگرال را مطابق بازه‌های فوق تفکیک می‌کنیم.

$$\int_{-1}^{0} (1)\sin xdx+\int_{0}^{1} (0)\sin xdx+\int_{1}^{2} (1)\sin xdx$$

در نتیجه حاصل انتگرال به صورت زیر خواهد شد:

$$ \int_{-1}^{2} ( x^2)\sin x\,dx = (-1 – \cos(1)) + 0 + (-\cos(2) + \cos(1))= -1 – \cos(1) – \cos(2) + \cos(1)= -1 – \cos(2)$$

مثال هفتم انتگرال جز صحیح

می‌خواهیم مقدار انتگرال معین $$\int_{2}^{5} (x)e^x\,dx$$ را حساب کنیم.

پاسخ:

همان‌طور که پیش‌تر اشاره شد ابتدا باید تابع $$x$$ را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(x)=2 & \Leftrightarrow& 2\leq x<3 & \\ (x)=3 & \Leftrightarrow& 3\leq x<4 & \\ (x)=4 & \Leftrightarrow& 4\leq x<5 & \\\end{matrix}}$$

در مرحله بعد می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و در تابع نمایی ضرب کنیم و بعد انتگرال را مطابق بازه‌های فوق تفکیک می‌کنیم.

$$\int_{2}^{3} (2)e^ xdx+\int_{3}^{4} (3)e^ xdx+\int_{4}^{5} (4)e^ xdx$$

بنابراین خواهیم داشت:

$$\int_{2}^{3} (2)e^x \, dx + \int_{3}^{4} (3)e^x \, dx + \int_{4}^{5} (4)e^x \, dx=2\int_{2}^{3} e^x \, dx + 3\int_{3}^{4} e^x \, dx + 4\int_{4}^{5} e^x \, dx= 2(e^x)_{2}^{3} + 3(e^x)_{3}^{4} + 4(e^x)_{4}^{5}= 2(e^3 – e^2) + 3(e^4 – e^3) + 4(e^5 – e^4)= 2e^3 – 2e^2 + 3e^4 – 3e^3 + 4e^5 – 4e^4= 2e^3 – 3e^3 + 3e^4 – 4e^4 + 4e^5 – 2e^2= -e^3 – e^4 + 4e^5 – 2e^2$$

روش‌های انتگرال‌‌گیری از توابع جز صحیح را چطور یاد بگیریم؟

برای درک بهتر انتگرال، ابتدا  باید با مفاهیم پایه مانند مشتق آشنا باشید. انتگرال در واقع عکس عمل مشتق است و با این روش می‌توان مساحت زیر منحنی یا حجم را محاسبه کرد. پس از درک مفاهیم ابتدایی، انواع روش‌های محاسبه انتگرال را بررسی کنید. در مرحله بعد مفاهیم پیشرفته‌تر مانند کاربردهای انتگرال در ریاضی را مطالعه کنید. در نهایت، با استفاده از فیلم‌های آموزشی موجود در فرادرس می‌توانید مفاهیم مشتق و انتگرال و کاربردهای آن‌ها را یادبگیرید.

اگر به این موضوع علاقه‌مند هستید، می‌توانید از فیلم‌های آموزشی فرادرس که در همین رابطه تهیه شده‌اند بهره بگیرید. دیدن این دوره‌ها به ترتیبی که در ادامه آورده شده است به شما پیشنهاد می‌شوند.

  • فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی عمومی ۱ فرادرس

انواع روش انتگرال‌گیری

بیشتر مسائلی که با آن‌ها روبرو می‌‌شویم آن‌ قدر ساده نیستند بنابراین لازم است تا با روش‌های جدیدی آشنا شویم. برای محاسبه انتگرال شامل تابع جز صحیح روش‌های زیر وجود دارد و برای یادگیری بیشتر و بهتر این موضوع و سایر موضوعات مرتبط با انتگرال‌گیری جزء صحیح، می‌توانید فیلم آموزش انتگرال گیری عددی فرادرس را از لینک زیر مشاهده کنید.

فیلم آموزش انتگرال گیری عددی (رایگان) در فرادرس

کلیک کنید

  • انتگرال با روش جایگزینی (جانشینی)
  • انتگرال با توان‌های sin و cos
  • انتگرال با روش جایگزینی مثلثاتی
  • انتگرال با روش جز به جز که پیش‌تر نیز در مجله فرادرس راجع به آن توضیح دادیم.
  • انتگرال توابع کسری

انتگرال جز صحیح با روش جایگزینی

یکی از روش‌های ساده حل انتگرال، جایگزینی یا جانشینی نام دارد. در این روش سعی می‌شود قسمتی از تابع را با تغییر متغیر و همچنین به تبع آن انتگرالده (به طور معمول dx) به شکلی ساده‌تر تبدیل کرد با این روش حل یک انتگرال مشکل را به یک انتگرال ساده تغییر می‌دهیم.

مثال اول انتگرال جز صحیح با روش جایگزینی

انتگرال زیر را با روش جانشینی حساب کنید. با فرض اینکه $$a$$ و $$b$$ عدد ثابت هستند و $$n$$ یک عدد صحیح مثبت است.

$$\int_{1}^{3} (x^2)(ax+b)^n\,dx$$

پاسخ:

با توجه به تعریف تابع جزء صحیح، باید تابع $$x^2$$ را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.

$$\boxed{\begin{matrix}( x^2)=1 & \Leftrightarrow& 1\leq x<2 & \\ ( x^2)=4 & \Leftrightarrow& 2\leq x<3 & \\\end{matrix}}$$

انتگرال به شکل زیر تبدیل می‌شود:

$$\int_{1}^{3} (x^2)(ax+b)^n\,dx=\int_{1}^{2} (1)(ax+b)^n\,dx+\int_{2}^{3} (4)(ax+b)^n\,dx=\int_{1}^{2} (ax+b)^n\,dx+(4)\int_{2}^{3} (ax+b)^n\,dx$$

اکنون این دو انتگرال را با روش جانشینی حل می‌کنیم. بدین منظور تغییر متغیرهای زیر را انجام می‌دهیم:

$$u=ax+b$$

$$du=a\,dx$$

سپس انتگرال $$\int(ax+b)^n\,dx$$ به صورت زیر خواهد شد:

$$\int(ax+b)^n\,dx=\int {1\over a} u^n\,du={1\over a(n+1)}u^{n+1}+C= {1\over a(n+1)}(ax+b)^{n+1}+C.$$

حالا با اعمال حدود و ضرایب که از قبل داشتیم، انتگرال‌ها به شکل زیر می‌شوند:

$$\int_{1}^{3} (x^2)(ax+b)^n\,dx= ({1\over a(n+1)}(ax+b)^{n+1})|_{1}^{2}+ 4({1\over a(n+1)}(ax+b)^{n+1})|_{2}^{3}= ({1\over a(n+1)}(2a+b)^{n+1})-({1\over a(n+1)}(a+b)^{n+1})+ ({4\over a(n+1)}(3a+b)^{n+1})-({4\over a(2+1)}(2a+b)^{n+1}) $$

مثال دوم انتگرال جز صحیح با روش جایگزینی

می‌خواهیم انتگرال زیر را با روش جانشینی حل کنیم. با فرض اینکه $$a$$ و $$b$$ عدد ثابت هستند.

$$\int_{1}^{3} (2x) \sin(ax+b)\,dx$$

پاسخ:

همان‌طور که پیش‌تر اشاره شد ابتدا باید تابع $$x2$$ را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی  شود.

$$\boxed{\begin{matrix}( 2x)=2 & \Leftrightarrow& 1\leq x<2 & \\ ( 2x)=4 & \Leftrightarrow& 2\leq x<3 & \\\end{matrix}}$$

انتگرال به شکل زیر تفکیک می‌شود:

$$\int_{1}^{3} (2x) \sin(ax+b)\,dx=2\int_{1}^{2} \sin(ax+b)\,dx+4\int_{2}^{3} \sin(ax+b)\,dx$$

سپس دو انتگرال باقی‌مانده را با روش جانشینی حل می‌کنیم. بدین منظور تغییر متغیرهای زیر را انجام می‌دهیم:

$$u=ax+b$$

$$du=a\,dx$$

در نتیجه انتگرال $$\int\sin(ax+b)\,dx$$ را به صورت زیر حل می‌کنیم:

$$\int\sin(ax+b)\,dx=\int {1\over a} \sin u\,du={1\over a}(-\cos u)+C=-{1\over a}\cos(ax+b)+C.$$

در مرحله بعد حدود و ضرایب دو انتگرال را در جواب فوق اعمال می‌کنیم.

$$\int_{1}^{3} (2x) \sin(ax+b)\,dx=2\int_{1}^{2} \sin(ax+b)\,dx+4\int_{2}^{3} \sin(ax+b)\,dx=2(-{1\over a}\cos(ax+b))|_{1}^{2}+4(-{1\over a}\cos(ax+b))|_{2}^{3}=2((-{1\over a}\cos(2a+b))-(-{1\over a}\cos(a+b)))+4((-{1\over a}\cos(3a+b))-(-{1\over a}\cos(2a+b)))= -2\cos(2a+b) + 2\cos(a+b) – 4\cos(3a+b) + 4\cos(2a+b)= (-2\cos(2a+b) + 4\cos(2a+b)) + (2\cos(a+b)) – 4\cos(3a+b)= 2\cos(2a+b) + 2\cos(a+b) – 4\cos(3a+b)$$

انتگرال جز صحیح توابع سینوس و کسینوس

توابعی که از حاصل ضرب سینوس و کسینوس تشکیل شده‌اند، می‌توان با استفاده از قاعده جابجایی و اتحادهای مثلثاتی انتگرال گرفت. انتگرال‌هایی که شامل تابع جزء صحیح باشند را باید ابتدا در بازه‌های مشخص شده طوری تعیین کرد که حاصل آن توابع عدد صحیحی شود که بتوانیم آن‌ها را از داخل انتگرال خارج کنیم.

مثال اول انتگرال شامل توابع جزء صحیح و سینوس و کسینوس

می‌خواهیم انتگرال زیر را حل کنیم.

$$\int_{0}^{\pi/2} (2\cos x)\sin^5 x\,dx$$

پاسخ:

در این مثال باید حدود در انتگرال را طوری جدا کنیم که تابع $$2\cos x$$ عدد صحیحی  شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(2\cos x)=2 &\Leftrightarrow & 0\leq x<\pi/3 & \\ (2\cos x)=1 & \Leftrightarrow& \pi/3\leq x<2\pi/2 & \\\end{matrix}}$$

در نتیجه انتگرال به صورت زیر تفکیک می‌شود:

$$\int_{0}^{\pi/2} (2\cos x)\sin^5 x\,dx=2\int_{0}^{\pi/3} \sin^5 x\,dx+\int_{\pi/3}^{\pi/2} \sin^5 x\,dx$$

در مرحله بعد انتگرال $$\int \sin^5 x\,dx$$ را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم تا حل آن آسان‌تر شود.

$$\int \sin^5 x\,dx=\int \sin x \sin^4 x\,dx= \int \sin x (\sin^2 x)^2\,dx= \int \sin x (1-\cos^2 x)^2\,dx.$$

برای حل انتگرال فوق باید تغییر متغیرهای زیر را انجام داد:

$$u=\cos x$$

$$du=-\sin x\,dx$$

با انتخاب متغیرهای جدید انتگرال را حل می‌کنیم.

$$\eqalign{ \int \sin x (1-\cos^2 x)^2\,dx&=\int -(1-u^2)^2\,du\cr &=\int -(1-2u^2+u^4)\,du\cr &=-u+{2\over3}u^3-{1\over5}u^5+C\cr &=-\cos x+{2\over3}\cos^3 x-{1\over5}\cos^5x+C.\cr}$$

در مرحله بعد حدود و ضرایب دو انتگرال را در جواب فوق اعمال می‌کنیم.

$$\eqalign{ \int_{0}^{\pi/2} (2\cos x)\sin^5 x\,dx =2(-\cos x+{2\over3}\cos^3 x-{1\over5}\cos^5x)|_{0}^{\pi/3}+(-\cos x+{2\over3}\cos^3 x-{1\over5}\cos^5x)|_{\pi/3}^{\pi/2}= 2(-\cos (\pi/3)+{2\over3}\cos^{3} (\pi/3)-{1\over5}\cos^{5}(\pi/3))- 2(-\cos (0)+{2\over3}\cos^{3} (0)-{1\over5}\cos^{5}(0))+ (-\cos (\pi/2)+{2\over3}\cos^{3} (\pi/2)-{1\over5}\cos^{5}(\pi/2))- (-\cos (\pi/3)+{2\over3}\cos^{3} (\pi/3)-{1\over5}\cos^{5}(\pi/3))=2(-1/2+2/3(1/2)^3-1/5(1/2)^5)-2(-1+2/3-1/5)-(-1/2+2/3(1/2)^3-1/5(1/2)^5)\cr}$$

مثال دوم انتگرال شامل توابع جزء صحیح و سینوس و کسینوس

انتگرال معین زیر را حساب کنید.

$$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{ \sin^2x\cos^2x}{(\tan x)}\,dx$$

پاسخ:

طبق تعریف تابع جز ء صحیح، ابتدا باید تابع $$\tan x$$ را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی  شود.

به شکل زیر تبدیل خواهد شد:

$$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{ \sin^2x\cos^2x}{(\tan x)}\,dx=\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sin^2x\cos^2x}{1}dx$$

اکنون برای حل انتگرال $$\int\! \sin^2x\cos^2x\,dx$$ از دو رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$$\sin^2x =(1-\cos(2x))/2$$

$$ \cos^2x =(1+\cos(2x))/2$$

در نتیجه پاسخ انتگرال به صورت زیر خواهد بود:

$$\int \sin^2x\cos^2x\,dx=\int {1-\cos(2x)\over2}\cdot {1+\cos(2x)\over2}\,dx= \frac{1}{32} (4 x – \sin(4 x)) + c$$

در مرحله بعد حدود و ضرایب سه انتگرال را در جواب فوق اعمال می‌کنیم.

$$ (\frac{1}{32} (4 x – \sin(4 x)) )|_{\pi/4}^{\pi/3}=\frac{1}{32}(\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2})-(\frac{1}{32}(\pi)) $$

انتگرال جز صحیح با روش جز به جز

انتگرال به روش جز به جز که برخی آن را روش بازگشتی نیز می‌نامند، یک روش راحت و خلاقانه برای حل انتگرال‌های نسبتا پیچیده که معمولا به شکل حاصلضرب دو یا سه تابع هستند. در محاسبه انتگرال‌هایی که شامل تابع جزء صحیح هستند ابتدا باید با توجه به تعریف تابع جزء صحیح را در طوری در بازه‌های انتگرال قرار دهیم که مقدار تابع عدد صحیحی  شود، در واقع با این کار کسر را به زیر بازه‌هایی تفکیک می‌کنیم که تابع جزء صحیح در آن عدد صحیحی  شود و بتوانیم آن را از داخل انتگرال خارج کنیم. بقیه توابع را می‌توانیم به طور معمول مثلا با روش جز به جز حساب کنیم.

برای تعریف روش جز به جز ابتدا از قضیه حاصلضرب مشتق شروع می‌کنیم:

$${\left( {f\,g} \right)^\prime } = f’\,g + f\,g’$$

حال از هر دو طرف رابطه انتگرال می‌گیریم:

$$\int{{{{\left( {f\,g} \right)}^\prime }\,dx}} = \int{{f’\,g + f\,g’\,dx}}$$

انتگرال در سمت چپ عبارت فوق راحت است چون از قبل می‌دانیم که انتگرال عکس عمل مشتق است. سمت راست عبارت را جدا می‌کنیم.

$$fg = \int{{f’\,g\,dx}} + \int{{f\,g’\,dx}}$$

اکنون رابطه بالا را به شکل زیر بازنویسی می‌کنیم:

$$\int{{f\,g’\,dx}} = fg – \int{{f’\,g\,dx}}$$

به خاطر سپردن و استفاده از فرمول فوق کار راحتی نیست به همین دلیل تغییر متغیرهای زیر را در این رابطه انجام می‌دهیم:

$$\begin{align*}u = f\left( x \right)\hspace{0.5in}v = g\left( x \right) \\ du = f’\left( x \right)\,dx\hspace{0.5in}dv = g’\left( x \right)\,dx\end{align*}$$

در زیر فرمول ساده انتگرال به روش جز به جز آمده است:

$$\int{{u\,dv}} = uv – \int{{v\,du}}$$

برای استفاده از این فرمول باید در هر انتگرال مقادیر $$u$$ و $$dv$$ را شناسایی کنیم و بعد می‌توانیم $$v$$ و $$du$$ را حساب کنیم سپس در فرمول بالا قرار دهیم.

مثال اول انتگرال جز صحیح با روش جز به جز

انتگرال $$\int_{0}^{\pi /3} ( 2\sin x)\sec ^3 x\,dx$$ را محاسبه کنید.

پاسخ:

مطابق تعریف تابع جز ء صحیح، ابتدا باید تابع $$2\sin x$$ را در بازه‌هایی قرار دهیم که تابع عدد صحیحی شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(2 \sin x)=0 &\Leftrightarrow & 0\leq x<\pi/6 \\ (2 \sin x)=1 &\Leftrightarrow & \pi/6 \leq x<\pi/3\\\end{matrix}}$$

سپس می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و در مثلثاتی ضرب کنیم و بعد انتگرال را مطابق بازه‌های فوق تفکیک می‌کنیم.

$$\int_{0}^{\pi /3} 0\sec ^3 x\,dx=\int_{0}^{\pi /6} ( 2\sin x)\sec ^3 x\,dx+\int_{\pi /6}^{\pi /3} (1)\sec ^3 x\,dx$$

انتگرال فوق را با توجه به تابع $$\sec ^3 x$$ می‌توانیم از روش جز به جز حل کنیم. بدین منظور تغییر متغیرهای زیر را در نظر می‌گیریم:

$$u = \sec(x)$$

$$dv = \sec^2(x) \, dx $$

در نتیجه داریم:

$$ du = \sec(x) \tan(x) \, dx$$

$$v = \tan(x) $$

در مرحله بعد انتگرال $$\sec ^3 x$$ را با روش جز به جز حل می‌کنیم و سپس جواب آن را در ضرایب پشت دو انتگرال فوق ضرب می‌کنیم.

$$\eqalign{ \int\sec^3 x\,dx&=\sec x\tan x-\int \tan^2x\sec x\,dx\cr &=\sec x\tan x-\int (\sec^2x-1)\sec x\,dx\cr &=\sec x\tan x-\int \sec^3x\,dx +\int\sec x\,dx.\cr}$$

پس از انجام روش  جز به جز، جمله $$\int \sec^3x\,dx $$ را به سمت راست معادله بالا می‌بریم.

$$\eqalign{ \int\sec^3x\,dx&=\sec x\tan x-\int \sec^3x\,dx +\int\sec x\,dx\cr \int\sec^3x\,dx+\int \sec^3x\,dx&=\sec x\tan x +\int\sec x\,dx\cr 2\int\sec^3x\,dx&=\sec x\tan x +\int\sec x\,dx\cr \int\sec^3x\,dx&={\sec x\tan x\over2} +{1\over2}\int\sec x\,dx\cr &={\sec x\tan x\over2} +{\ln|\sec x+\tan x|\over2}+C.\cr}$$

اکنون باید حدود انتگرال را در جواب فوق اعمال کنیم.

$$({\sec x\tan x\over2} +{\ln|\sec x+\tan x|\over2})|_{\pi/6}^{\pi/3}=(\frac{2\sqrt{3}}{2}+\frac{ln | 2+\sqrt{3}|}{2})-(\frac{(2/\sqrt{3})(1/\sqrt{3})}{2}+\frac{ln | (2/\sqrt{3})+(1/\sqrt{3})|}{2})$$

مثال دوم انتگرال جز صحیح با روش جز به جز

می‌خواهیم انتگرال زیر را با روش جز به جز حل کنیم.

$$\int_{0}^{\pi} x^2\sin x(\cos x),dx$$

پاسخ:

ابتدا باید بازه‌ها را طوری تفکیک کرد تا خروجی تابع جزء صحیح که یک تابع کوسینوس است، یک عدد صحیحی شود.

$$\boxed{\begin{matrix}(\cos x)=1 &\Leftrightarrow & 0\leq x<\pi/2 \\ (\cos x)=0 &\Leftrightarrow & \pi/2\leq x<\pi\\\end{matrix}}$$

سپس می‌توانیم علامت جز صحیح را حذف کنیم و آن را در بقیه عبارت ضرب کنیم و بعد انتگرال را مطابق بازه‌های فوق تفکیک می‌کنیم.

$$\int_{0}^{\pi/2} (1) x^2\sin xdx+\int_{\pi/2}^{\pi} (0) x^2\sin xdx$$

در مرحله بعد انتگرال $$\int x^2\sin x\,dx$$ را با روش جز به جز حل می‌کنیم و بعد جواب آن را مطابق بازه‌های تعیین شده حساب می‌کنیم. بنابراین تغییر متغیرهای زیر را در آن اعمال می‌کنیم:

$$u=x^2$$

$$dv=\sin x\,dx$$

در نتیجه مقادیر زیر را می‌توانیم حساب کنیم:

$$du=2x\,dx$$

$$v=-\cos x$$

حالا می‌توانیم انتگرال را با روش جز به جز حل کنیم.

$$\eqalign{ \int x^2\sin x\,dx&=-x^2\cos x+\int 2x\cos x\,dx\cr &=-x^2\cos x+ 2x\sin x – \int 2\sin x\,dx\cr &=-x^2\cos x+ 2x\sin x + 2\cos x + C.\cr}$$

اکنون بازه‌ها را در جواب اعمال می‌کنیم.

$$\int_{0}^{\pi/2} x^2\sin xdx=(-x^2\cos x+ 2x\sin x + 2\cos x)|_{0}^{\pi/2}=\pi-2$$

انتگرال جز صحیح توابع کسری

در حل انتگرال‌هایی که شامل تابع جزء صحیح و تابع کسری هستند، ابتدا باید تابع جزء صحیح را در بازه‌های تعیین شده محاسبه کنیم و به صورت یک عدد ثابت از انتگرال خارج کنیم. سپس برای حل انتگرال تابع کسری باید درجه صورت کمتر از مخرج باشد، در غیر اینصورت صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم. اگر چندجمله‌ای مخرج به شکل $$(ax+b)^{n}$$ باشد آنگاه تغییر متغیر به صورت $$u=ax+b$$ همیشه جواب خواهد داد. مخرج به شکل $$u^{n}$$ خواهد شد و هر x در صورت با $$\frac{u-b}{a}$$ و $$dx=\frac{du}{a}$$ جایگزین خواهد شد. به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال اول انتگرال شامل توابع جز صحیح و کسری

انتگرال کسری زیر را حساب کنید.

$$\int_{1}^{3} (\frac{x^2}{2}){x^3\over(3-2x)^5}\,dx.$$

پاسخ:

تابع جزء صحیح را در بازه تعیین شده به صورت زیر حساب می‌کنیم:

$$\boxed{\begin{matrix} ({x^2}/{2})=2 & \Leftrightarrow& 2\leq x<3 & \\\end{matrix}}$$

در نتیجه انتگرال به صورت زیر تبدیل می‌شود:

$$\int_{1}^{3} (\frac{x^2}{2}){x^3\over(3-2x)^5}\,dx.=2\int_{2}^{3} {x^3\over(3-2x)^5}\,dx$$

در مرحله بعد انتگرال $$\int{x^3\over(3-2x)^5}\,dx.$$ را با تغییر متغیر $$u=3-2x$$ حل می‌کنیم و  در آخر حدود و ضرایب انتگرال را در آن اعمال می‌کنیم.

$$\eqalign{ \int{x^3\over(3-2x)^5}\,dx &={1\over -2}\int {\left({u-3\over-2}\right)^3\over u^5}\,du ={1\over 16}\int {u^3-9u^2+27u-27\over u^5}\,du\cr &={1\over 16}\int u^{-2}-9u^{-3}+27u^{-4}-27u^{-5}\,du\cr &={1\over 16}\left({u^{-1}\over-1}-{9u^{-2}\over-2}+{27u^{-3}\over-3} -{27u^{-4}\over-4}\right)+C\cr &={1\over 16}\left({(3-2x)^{-1}\over-1}-{9(3-2x)^{-2}\over-2}+ {27(3-2x)^{-3}\over-3} -{27(3-2x)^{-4}\over-4}\right)+C\cr &=-{1\over 16(3-2x)}+{9\over32(3-2x)^2}-{9\over16(3-2x)^3}+{27\over64(3-2x)^4}+C\cr }$$

همان‌طور که مشاهده کردید در این مثال با تغییر متغیر عبارت مخرج توانستیم به راحتی این انتگرال را محاسبه کنیم. در ادامه حدود و ضرایب انتگرال مرحله قبلی را جایگذاری می‌کنیم.

$$2\int_{2}^{3} {x^3\over(3-2x)^5}\,dx=(2)(-{1\over 16(3-2x)}+{9\over32(3-2x)^2}-{9\over16(3-2x)^3}+{27\over64(3-2x)^4})|_{2}^{3}$$

بنابراین حاصل انتگرال یه صورت زیر خواهد بود:

$$(\frac{67}{864}-\frac{41}{32})=-\frac{65}{54}$$

مثال دوم انتگرال شامل توابع جز صحیح و کسری

می‌خواهیم انتگرال کسری زیر که شامل تابع جز صحیح نیز هست را محاسبه کنیم.

$$\int_{4}^{5} {(\sqrt x)x^3\over (x-2)(x+3)}\,dx$$

پاسخ:

ابتدا تابع جز صحیح که در این مثال $$\sqrt x$$ است را مطابق بازه تعیین شده محاسبه می‌کنیم.

$$\boxed{\begin{matrix}(\sqrt x)=2 &\Leftrightarrow & 4\leq x<5 \\\end{matrix}}$$

در نتیجه انتگرال به شکل زیر تبدیل می‌شود:

$$2\int_{4}^{5} {x^3\over (x-2)(x+3)}\,dx$$

در مرحله بعد انتگرال $$\int {x^3\over (x-2)(x+3)}\,dx$$ را به صورت نامعین حل می‌کنیم و در آخر حدود و ضریب را در آن اعمال خواهیم کرد. چون در این انتگرال درجه صورت از مخرج بیشتر است باید آن‌ها را تقسیم کرد.

$${x^3\over (x-2)(x+3)}={x^3\over x^2+x-6}=x-1+{7x-6\over x^2+x-6}= x-1+{7x-6\over (x-2)(x+3)},$$

بنابراین خواهیم داشت:

$$\int {x^3\over (x-2)(x+3)}\,dx=\int x-1\,dx +\int {7x-6\over (x-2)(x+3)}\,dx.$$

حل انتگرال اول در سمت راست معادله فوق راحت است اما انتگرال دوم نیازمند کار بیشتری است بنابراین از روش زیر برای جداسازی آن استفاده می‌کنیم تا حل آن آسان‌تر شود.

$${A\over x-r}+{B\over x-s}={A(x-s)+B(x-r)\over (x-r)(x-s)}= {(A+B)x-As-Br\over (x-r)(x-s)}.$$

در توضیح این روش، یک کسر را می‌توانیم به مجموع دو کسر که صورت‌های آن‌ها شامل اعداد ثابت و چندجمله‌ای کمتر از درجه دو هستند با مخرج‌هایی شامل $$(x-s)$$ و $$(x-r)$$ تبدیل کرد. البته عکس این فرآیند نیز امکان دارد. بنابراین می‌توانیم جمله انتگرال دوم را به صورت زیر بنویسیم:

$${7x-6\over (x-2)(x+3)}={A\over x-2}+{B\over x+3}.$$

$${7x-6\over (x-2)(x+3)}={(A+B)x+3A-2B\over (x-2)(x+3)}.$$

در مرحله بعد باید مقادیر $$A$$ و $$B$$ را پیدا کنیم. بدین منظور صورت‌های دو معادله فوق را برابر هم قرار می‌دهیم:

$$7x-6=(A+B)x+3A-2B$$

چون در معادله فوق دو مجهول $$A$$ و $$B$$ را داریم، می‌توانیم دستگاه معادلات را برای آن تشکیل دهیم.

$$\begin{cases}7=A+B & \\-6=3A-2B & \end{cases}$$

بنابراین مقادیر $$A$$ و $$B$$ به صورت زیر خواهد بود:

$$A=\frac{8}{5}$$

$$B=\frac{27}{5}$$

در نتیجه انتگرال را می‌توانیم به صورت جمع دو انتگرال بازنویسی کنیم.

$$\int {7x-6\over (x-2)(x+3)}\,dx= \int {8\over5}{1\over x-2}+{27\over5}{1\over x+3}\,dx= {8\over5}\ln |x-2|+{27\over5}\ln|x+3|+C.$$

با جمله اول انتگرال پیش جمع می‌کنیم.

$$\eqalign{ \int {x^3\over (x-2)(x+3)}\,dx &=\int x-1\,dx +\int {7x-6\over (x-2)(x+3)}\,dx\cr &={x^2\over 2}-x+{8\over5}\ln |x-2|+{27\over5}\ln|x+3|+C.\cr}$$

اکنون می‌توانیم حدود و ضریب اولیه را به پاسخ فوق اعمال کنیم.

$$2({x^2\over 2}-x+{8\over5}\ln |x-2|+{27\over5}\ln|x+3|)|_{4}^{5}=7+\frac{16}{5}(ln 3-ln2)+\frac{54}{5}(ln 8-ln7)$$

جدول انتگرال‌های مهم

در جدول زیر مهم‌ترین و کاربردی‌ترین انتگرال‌ها آورده شده است.

پاسخ انتگرال
$$if(n\neq1)$$    , $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$ $$\int x^{n}dx$$
$$ln\mid x \mid + c$$ $$\int x^{-1}dx$$
$$e^{x}+c$$ $$\int e^{x}dx$$
$$-\cos x+c$$ $$\int\sin x dx $$
$$\sin x+c$$ $$\int \cos xdx$$
$$\tan x+c$$ $$\int \sec^{2} xdx$$
$$\sec x+c$$ $$\int \sec x \tan xdx$$
$$\arctan x+c$$ $$\int \frac{1}{1+x^{2}}dx$$
$$\arcsin x+c$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$$

نتیجه‌گیری

تابع جزء صحیح که به اصطلاح به آن براکت نیز می‌گویند هر مقداری زا به کمترین عدد صحیح مجاورش تبدیل می‌کند. در این مطلب از مجله فرادرس آموختیم که برای محاسبه انتگرال‌هایی که شامل تابع جزء صحیح هستند باید تابع جزء صحیح را به نحوی در بازه تعیین شده محاسبه کرد تا حاصل آن یک عدد صحیح شود، سپس آن را به شکل ضریب ثابت از انتگرال خارج کرد و انتگرال باقی‌مانده را با روش مناسب حل کرد. این موضوع با مثال‌های متنوع در این مطلب ارائه شد.

نوشته انتگرال جز صحیح – به زبان ساده با مثال و تمرین اولین بار در فرادرس – مجله‌. پدیدار شد.