فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال


ریاضی هشتم در سال دوم دوره اول متوسطخ یا همان مقطه هشتم برای دانش‌آموزان رشته‌های مختلف تدریس می‌شود. این درس، ۹ فصل دارد که طی آن‌ها، مباحثی نظیر عددهای صحیح و گویا، عددهای اول، چندضلعی‌ها، جبر و معادله، بردار و مختصات، مثلث، توان و جذر، آمار و احتمال و دایره را پوشش می‌دهد. آشنایی با مباحث و فرمول های ارائه شده در درس ریاضی هشتم، از اهمیت بالایی برای موفقیت در آزمون‌های دبیرستان برخوردار است. به همین دلیل، بسیاری از دانش‌آموزان به دنبال منبع جامعی هستند که فرمول های ریاضی هشتم را برایشان خلاصه کرده باشد. در این مطلب از مجله فرادرس، تمام فرمول های ریاضی هشتم را به شما معرفی می‌کنیم و به حل مثال برای هر کدام می‌پردازیم. شما می‌توانید این مطلب را برای مرور سریع فرمول های ریاضی هشتم ذخیره کنید.

۱. عددهای صحیح و گویا: فرمول های فصل اول ریاضی هشتم

در فصل اول ریاضی هشتم، به موضوعاتی مانند یادآوری عددهای صحیح، عددهای گویا، معکوس عددهای گویا و عملیات‌های اصلی روی عددهای گویا (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عددهای گویا) پرداخته می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

به هر عددی که بتوان آن را به‌صورت کسر $$ \frac { a } { b } $$ نوشت، عدد گویا می‌گویند. به شرط اینکه $$ a $$ و $$ b $$، عددهای صحیح باشند و $$ b $$ برابر با $$ ۰ $$ نباشد ($$ b \ne ۰ $$ ). در ادامه، نکات، مفاهیم و فرمول های مهم فصل اول ریاضی هشتم را به همراه مثال مرور می‌کنیم.

مروری بر مفهوم عددهای صحیح و عملیات ریاضی روی آن ها

«عدد صحیح» (Integer Number)، عددی است که می‌توان آن را بدون جز کسری نوشت. مجموعه زیر، مجموعه اعداد صحیح را نمایش می‌دهد:

$$ \mathbb{Z} = \{ – \infty , \ …, – ۲ , – ۱ , ۰ , + ۱ , + ۲ , \ …, + \infty \} $$

برای به دست آوردن قرینه عدد، آن را در عدد منفی یک ($$ – ۱ $$) ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال، قرینه عددهای $$ ۶ $$، $$ – ( – ۷ ) $$ و $$ – ۸ $$ به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

$$ ۶ \to ( – ۱ )\times ۶ = – ۶ $$

$$ – ( – ۷ ) = ۷ \to ( – ۱ )\times ۷ = – ۷ $$

$$ – ۸ \to ( – ۱ )\times ( – ۸ ) = ۸ $$

ترتیب عملیات‌های ریاضی به صورت زیر است:

  1. پرانتز
  2. توان
  3. ضرب
  4. تقسیم
  5. جمع
  6. تفریق

به عنوان مثال برای محاسبه $$ ۱ – ۲ \times ( ۱ – ( ۸ – ۹ ) ) $$، ابتدا عملیات درون داخلی‌ترین پرانتز، یعنی $$ ( ۸ – ۹ ) $$ را انجام می‌دهیم:

$$ ۸ – ۹ = – ۱ $$

$$ ۱ – ۲ \times ( ۱ – ( – ۱ ) ) $$

سپس، حاصل پرانتز بعدی، یعنی $$ ( ۱ – ( – ۱ ) ) $$ را به دست می‌آوریم:

$$ ( ۱ – ( – ۱ ) ) = ۱ + ۱ = ۲ $$

$$
۱ – ۲ \times ( ۲ )
$$

اکنون، به سراغ عملیات ضرب می‌رویم:

$$
۲ \times ( ۲ ) = ۴
$$

$$
۱ – ۴
$$

در نهایت، عملیات تفریق را انجام می‌دهیم تا به جواب برسیم:

$$
۱ – ۴ = – ۳
$$

$$
۱ – ۲ \times ( ۱ – ( ۸ – ۹ ) ) = – ۳
$$

اگر بخواهیم حاصل جمع و تفریق چند عدد را به دست بیاوریم، بهتر است ابتدا عددهای دارای علامت مثبت را جداگانه با یکدیگر جمع کرده و عددهای دارای علامت منفی را نیز جداگانه با یکدیگر جمع کنیم. سپس عددهای دارای علامت منفی را از عددهای دارای علامت مثبت کم کنیم. به عنوان مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$$
– ۲ + ۴ – ۶ + ۸ – ۱۰ + ۱۲
$$

جمع عددهایی که علامت مثبت دارند عبارت است از:

$$
+ ۴ + ۸ + ۱۲ = ۲۴
$$

جمع عددهایی که علامت منفی دارند عبارت است از:

$$ – ۲ – ۶ – ۱۰ = – ( ۲ + ۶ + ۱۰ ) = – (۱۸ ) $$

در نتیجه:

$$
– ۲ + ۴ – ۶ + ۸ – ۱۰ + ۱۲ = ۲۴ – ( ۱۸ ) = ۶
$$

عددهای گویا و مرتب سازی آن ها

«عدد گویا» (Rational Number)، عددی است که می‌توان آن را با جز کسری نمایش داد. عددهای صحیح، زیرمجموعه عددهای گویا هستند. زیرا امکان نمایش هر عدد صحیح به صورت عدد کسری وجود دارد. به عنوان مثال:

$$
۲ = \frac { ۲ } { ۱ }
$$

برای آشنایی با این بخش از کتاب ریاضی هشتم، باید با اصول مقایسه کسرها از جمله تبدیل کسر به اعشار، تبدیل عدد اعشاری به کسر و تبدیل عدد مخلوط به کسر آشنا باشید. در صورت آشنایی با این مباحث، به راحتی می‌توانید مسائلی مانند مرتب‌سازی عددهای زیر را انجام دهید.

$$
\frac { ۳ }{ ۵ }, \frac { ۱ }{ ۱۰ }, ۰, ۲, – \frac { ۱ }{ ۲ }, – \frac { ۳ }{ ۵ }
$$

عددهای بالا از کوچک به بزرگ و از چپ به راست عبارت هستند از:

$$
– \frac { ۳ }{ ۵ }, – \frac { ۱ }{ ۲ }, ۰, \frac { ۱ }{ ۱۰ }, \frac { ۳ }{ ۵ }, ۲
$$

جمع و تفریق عددهای گویا

روش اجرای عملیات ریاضی بر روی عددهای گویا، به نحوه نوشتن آن‌ها بستگی دارد. در ادامه، چندین مثال از حالت‌های مختلف جمع و تفریق عددهای گویا آورده شده است:

$$ \frac { ۳ } { ۵ } + \frac { ۴ } { ۵ } = \frac { ۳ + ۴ } { ۵ } = \frac { ۷ } { ۵ } $$

$$ \frac { ۴ } { ۵ } – \frac { ۳ } { ۵ } = \frac { ۴ – ۳ } { ۵ } = \frac { ۱ } { ۵ } $$

اگر مخرج کسرها یکی نباشد، ابتدا از آن‌ها مخرج مشترک می‌گیریم و سپس آن‌ها را با هم جمع یا تفریق می‌کنیم:

$$ \frac { ۲ } { ۳ } – \frac { ۳ } { ۴ } = \frac { ( ۲ \times ۴) – ( ۳ \times ۳ ) } { ۳ \times ۴ } = \frac { ۸ – ۹ } { ۱۲ } = \frac { – ۱ } { ۱۲ } = – \frac { ۱ } { ۱۲ } $$

در صورت اعشاری بودن عددهای، عملیات جمع و تفریق را با توجه به بخش عدد صحیح و اعشاری انجام می‌دهیم:

$$ ۰/۸۵ – ۰/۵ = ۰/۸۵ – ۰/۵۰ = ۰/۳۵ $$

$$ – ۲/۳ – ۵/۸ = -۸/۱ $$

$$ ۲۵ – ۱۸/۴ = ۶/۶ $$

اگر عددهای، مخلوط باشند، آن را به فرم کسری بازنویسی می‌کنیم و عملیات جمع و تفریق را روی آن‌ها انجام می‌دهیم:

$$
– ۴ \frac { ۱ } { ۴ } – ۲ = – \frac { ( ۴\times ۴ + ۱) }{۴} – ۲ = -\frac { ۸ + ۱ } { ۴ } – \frac { ۸ } { ۴ }
$$

$$
– ۴ \frac { ۱ } { ۴ } – ۲ = – \frac { ( ۴\times ۴ + ۱) }{۴} – ۲ = -\frac { ۸ + ۱ } { ۴ } – \frac { ۸ } { ۴ } = – \frac { ۹ } { ۴ } – \frac { ۸ } { ۴ } = -\frac { ۱۷ } { ۴ }
$$

ضرب و تقسیم عددهای گویا

ضرب عددهای کسری با ضرب صورت‌ها در یکدیگر و ضرب مخرج‌ها در یکدیگر انجام می‌شود. به عنوان مثال:

$$
– \frac { ۳ } { ۴ } \times \left ( + \frac { ۵ } { ۷ } \right ) = – \frac { ۳ \times ۵}{ ۴ \times ۷} = – \frac { ۱۵ }{ ۲۸}
$$

برای تقسیم عددهای کسری، مقسوم علیه را معکوس کرده و در مقسوم ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال:

$$
\frac { ۶ } { ۳۵ } \div \frac { ۸ } { ۲۱ } = \frac { ۶ } { ۳۵ } \times \frac { ۲۱ } { ۸ } = \frac { ۶ \times ۲۱ } { ۳۵ \times ۸ } = \frac { ۱۲۶ }{ ۲۸۰ }
$$

در صورت وجود عدد اعشاری یا مخلوط، پس از تبدیل آن‌ها به عددهای، ضرب و تقسیم را مانند مثال‌های بالا انجام می‌دهیم. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در رابطه با عددهای اول را معرفی می‌کنیم.

۲. عددهای اول: فرمول های فصل دوم ریاضی هشتم

فصل دوم کتاب ریاضی هشتم، به مبحث عددهای اول اختصاص دارد. در این فصل، ضمن یادآوری یادآوری مفهوم عدد اول، نحوه تعیین عددهای اول آموزش داده می‌شود. فصل دوم ریاضی هشتم، فرمول های خاصی را معرفی نمی‌کند و بیشتر به تعریف چند مفهوم مرتبط با عددهای اول و مرکب می‌پردازد.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

در ادامه، خلاصه‌ای از نکات مهم و مفاهیم مورد نیاز برای آشنایی با این فصل را مرور می‌کنیم:

  • عدد اول: هر عدد طبیعی و بزرگ‌تر از یک که فقط بر یک و خودش بخش‌پذیر باشد.
  • عامل یا شمارنده: عددهایی که در هم ضرب می‌شوند و یک عدد دیگر را می‌سازند.
  • عامل یا شمارنده یک عدد: مقسوم‌علیه‌های آن عدد با باقیمانده صفر
  • تجزیه عددها: نمایش عددها به صورت ضرب شمارنده‌های آن‌ها
  • تجزیه به عددهای اول: نمایش عددهای به صورت ضرب شمارنده‌های اول آن
  • تعریف عدد مرکب: هر عدد طبیعی که بتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک بنویسیم
  • عدد ۱، نه اول است نه مرکب
  • تقسیم‌بندی عددهای طبیعی: عددهای طبیعی به سه بخش عددهای اول، عددهای مرکب و عدد یک تقسیم می‌شوند.
  • اول بودن دو عدد نسبت به هم: عددهایی که ب.م.م آن‌ها برابر با یک باشد.
  • شمارنده‌های عددهای طبیعی: به غیر از عدد $$ ۱ $$، هر عدد طبیعی حداقل دو شمارنده دارد.
  • روش غربال: روشی برای تعیین عددهای اول در میان چندین عدد است. این روش با خط زدن عددهای مضرب عددهای اول و مربع عددهای اول انجام می‌شود. به این ترتیب، عددهای باقی مانده، عدد اول خواهند بود.

در ادامه، مفاهیم و فرمول های فصل دوم ریاضی هشتم را با حل مثال آموزش می‌دهیم.

کدامیک از گزینه‌های زیر، عدد $$ ۴۰ $$ را به صورت ضرب شمارنده‌های اول نمایش می‌دهد؟

$$ ۴ \times ۱۰ $$

$$ ۲ \times ۲۰ $$

$$ ۵ \times ۸ $$

$$ ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۵ $$

مشاهده جواب

برای درک بهتر نحوه حل این مثال، تمام گزینه‌ها را به ترتیب بررسی می‌کنیم. در گزینه اول ($$ ۴ \times ۱۰ $$)، عدد $$ ۴۰ $$، به صورت حاصل‌ضرب دو عدد $$ ۴ $$ و $$ ۱۰ $$ نوشته شده است. این عددهای مرکب هستند و هیچکدام از آن‌ها، اول نیستند. زیرا می‌توان آن‌ها را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک نوشت:

$$ ۴ = ۲ \times ۲ $$

$$ ۱۰ = ۲ \times ۵ $$

در گزینه دوم ($$ ۲ \times ۲۰ $$)، عدد $$ ۴۰ $$، به صورت حاصل‌ضرب دو عدد $$ ۲ $$ و $$ ۲۰ $$ نوشته شده است. عدد $$ ۲ $$، یک عدد اول است اما $$ ۲۰ $$، اول نیست. زیرا، می‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک نوشت:

$$ ۲۰ = ۴ \times ۵ $$

گزینه سوم ($$ ۵ \times ۸ $$) نیز شرایط مشابه گزینه دوم دارد. در این گزینه، عدد $$ ۴۰ $$، به صورت حاصل‌ضرب دو عدد $$ ۵ $$ و $$ ۸ $$ نوشته شده است. عدد $$ ۵ $$، یک عدد اول است اما $$ ۸ $$، اول نیست. زیرا، می‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک نوشت:

$$ ۸ = ۲ \times ۴ $$

در گزینه چهارم ($$ ۲ \times ۲ \times ۲ \times ۴ $$)، عدد $$ ۴۰ $$، به صورت حاصل‌ضرب سه عدد $$ ۲ $$ در یک عدد $$ ۵ $$ نوشته شده است. عددهای $$ ۲ $$ و $$ ۵ $$، اول هستند. بنابراین، گزینه صحیح، گزینه چهار است.

کدامیک از گزینه‌های زیر، عددهای اول بین $$ ۱۰ $$ تا $$ ۲۰ $$ را نمایش می‌دهند؟

$$ \{ ۱۱, ۱۴, ۱۷, ۱۹ \} $$

$$ \{ ۱۱, ۱۳, ۱۵, ۱۹ \} $$

$$ \{ ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹ \} $$

$$ \{ ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۸ \} $$

مشاهده جواب

عددهای اول بین $$ ۱۰ $$ تا $$ ۲۰ $$ عبارت هستند از:

$$ \{ ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹ \} $$

گزینه‌های دیگر، تمام عددهای اول بین $$ ۱۰ $$ تا $$ ۲۰ $$ را نمایش نمی‌دهند و در تمام آن‌ها، یک عدد مرکب وجود دارد.

کدامیک از جفت عددهای زیر، نسبت به هم اول هستند؟

$$ ( ۲, ۸) $$

$$ ( ۱۲, ۵) $$

$$ ( ۲۴, ۲۷) $$

$$ ( ۱۵, ۱۰) $$

مشاهده جواب

به منظور تعیین ببینیم کدامیک از دو عدد نسبت به هم اول هستند، باید ب.م.م آن‌ها به دست بیاوریم. اگر ب.م.م دو عدد، برابر با $$ ۱ $$ باشد، آن دو عدد نسبت به هم اول هستند. ب.م.م گزینه‌های سوال عبارت هستند از:

$$ ( ۲, ۸) = ۲ $$

$$ ( ۵, ۱۲) = ۱ $$

$$ ( ۲۴ , ۲۷) = ۳ $$

$$ ( ۱۰ , ۱۵) = ۵ $$

در نتیجه، عددهای $$ ۵ $$ و $$ ۱۲ $$ نسبت به هم اول هستند.

عددهای اول مجموعه زیر را به روش غربال تعیین کنید.

$$ \begin {aligned} & \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹, ۱۰, ۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴,\\ & ۱۵, ۱۶, ۱۷, ۱۸, ۱۹, ۲۰, ۲۱, ۲۲, ۲۳, ۲۴, ۲۵ \} \end{aligned} $$

مشاهده جواب

مجموعه عددهای بالا، اعداد $$ ۱ $$ تا $$ ۲۵ $$ را نمایش می‌دهد. برای تعیین عددهای اول این مجموعه، ابتدا عدد $$ ۱ $$ را خط می‌زنیم. زیرا عدد $$ ۱ $$، اول نیست:

$$
\begin {aligned}
& \{\not{۱}, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹, ۱۰, ۱۱, ۱۲, ۱۳, ۱۴,\\ & ۱۵, ۱۶, ۱۷, ۱۸, ۱۹, ۲۰, ۲۱, ۲۲, ۲۳, ۲۴, ۲۵ \}
\end{aligned}
$$

عدد $$ ۲ $$، یک عدد اول است، به این عدد دست نمی‌زنیم اما بر روی مضرب‌های این عدد و مربع این عدد خط می‌کشیم:

$$
\begin {aligned}
& \{ \not{۱}, ۲, ۳, \not ۴, ۵, \not ۶, ۷, \not ۸, ۹, \not ۱۰, ۱۱, \not ۱۲, ۱۳, \not ۱۴, \\ & ۱۵, \not ۱۶, ۱۷, \not ۱۸, ۱۹, \not ۲۰, ۲۱, \not ۲۲, ۲۳, \not ۲۴, ۲۵ \}
\end{aligned}
$$

عدد $$ ۳ $$، نیز یک عدد اول است، به این عدد دست نمی‌زنیم اما بر روی مضرب‌های این عدد و مربع این عدد خط می‌کشیم:

$$
\begin {aligned}
& \{ \not{۱}, ۲, ۳, \not ۴, ۵, \not ۶, ۷, \not ۸, \not ۹, \not ۱۰, ۱۱, \not ۱۲, ۱۳, \not ۱۴, \\ & \not ۱۵, \not ۱۶, ۱۷, \not ۱۸, ۱۹, \not ۲۰, \not ۲۱, \not ۲۲, ۲۳, \not ۲۴, ۲۵ \}
\end{aligned}
$$

عدد بعدی که خط نخورده باشد، عدد $$ ۵ $$ است. این عدد نیز یک عدد اول است، به این عدد دست نمی‌زنیم اما بر روی مضرب‌های این عدد و مربع این عدد خط می‌کشیم:

$$
\begin {aligned}
& \{ \not{۱}, ۲, ۳, \not ۴, ۵, \not ۶, ۷, \not ۸, \not ۹, \not ۱۰, ۱۱, \not ۱۲, ۱۳, \not ۱۴, \\ & \not ۱۵, \not ۱۶, ۱۷, \not ۱۸, ۱۹, \not ۲۰, \not ۲۱, \not ۲۲, ۲۳, \not ۲۴, \not ۲۵ \}
\end{aligned}
$$

اگر عددهای باقی‌مانده را بررسی کنیم، می‌بینیم که دیگر هیچ عددی مضرب عدد دیگر یا مربع آن نیست. بنابراین، تمام عددهای باقی‌مانده اول هستند:

$$
\{۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱, ۱۳, ۱۷, ۱۹, ۲۳\}
$$

در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، به معرفی بهترین روش یادگیری فرمول های ریاضی هشتم می‌پردازیم.

چگونه فرمول های ریاضی هشتم را یاد بگیریم

برای دسترسی به فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم، روی تصویر کلیک کنید.

دوره متوسطه، پر از مباحث جدید نسبت به دوره ابتدایی است. دانش‌آموزان در این دوره، با مفاهیم پیشرفته‌تر در حوزه‌های مختلف از جمله ریاضی آشنا می‌شوند. کتاب ریاضی هشتم، مطالبی را که دانش‌آموزان در پایه هفتم یاد گرفته‌اند را بازتر می‌کند و نکات جالب‌تری از کار با اعداد، شکل‌های هندسی، نمودارها، حل معادله، انجام عملیات‌های ریاضی بر روی بردارها و غیره را آموزش می‌دهد. رسیدن به آمادگی برای یادگیری مفاهیم ریاضی پایه نهم و ورود قدرتمند به دوره متوسطه دوم، به میزان آشنایی شما با دروس هفتم و هشتم بستگی دارد. در مجموع، ریاضیات دوره متوسطه اول (ریاضی هفتم، ریاضی هشتم و ریاضی نهم)، مانند دانه‌های زنجیر به هم متصل هستند.

بهترین راه برای یادگیری فرمول های ریاضی هشتم و دیگر کتاب‌های ریاضی، مطالعه منابع درسی و انجام مثال‌ها و تمرینات متنوع است. فیلم های آموزشی فرادرس، تمام نیازهای شما را برای آشنایی با این فرمول‌ها و نحوه حل مسائل ریاضی متوسطه برطرف می‌کند. در این فیلم‌های آموزشی جامع، تمام سرفصل‌های کتاب‌های ریاضی پوشش داده شده‌اند. در ادامه، عنوان فیلم‌های آموزش ریاضی متوسطه در فرادرس را مشاهده می‌کنید:

  • فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس

اگر به یادگیری اصولی دیگر دروس دوره متوسطه اول و پایه هشتم علاقه‌مند هستید، فیلم‌های آموزشی فرادرس در مجموعه‌های زیر را نیز بررسی کنید:

  • مجموعه فیلم‌های آموزش دروس پایه هشتم فرادرس
  • مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دوره اول و دوم متوسطه فرادرس

در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث چندضلعی‌ها را معرفی می‌کنیم.

۳. چندضلعی ها: فرمول های فصل سوم ریاضی هشتم

فصل سوم کتاب ریاضی هشتم، به مبحث چندضلعی‌ها و فرمول های مرتبط با آن‌ها اختصاص دارد. در این فصل، تعریف چندضلعی‌ها، تقارن، توازی، تعامد، چهارضلعی‌ها، زاویه‌های داخلی و زاویه‌های خارجی آموزش داده می‌شود. جدول زیر، فرمول های فصل سوم ریاضی هشتم را نمایش می‌دهد.

مبحث فرمول
مجموع زاویه‌های داخلی $$ n $$ ضلعی $$ (n-۲) \times ۱۸۰° $$
اندازه هر زاویه $$ n $$ ضلعی منتظم $$ \frac { ( n – ۲ ) \times ۱۸۰° } { n } $$
مجموع زوایای خارجی $$ n $$ ضلعی منتظم $$ ۳۶۰ ^ { \circ } $$

در ادامه، برخی از اصطلاحات و مفاهیم مهم این فصل را مرور می‌کنیم:

  • چندضلعی: خط شکسته بسته بر روی صفحه، که یکدیگر را فقط و فقط در راس‌ها (محل رسیدن ضلع‌ها به یکدیگر) قطع می‌کند.
  • چندضلعی منتظم: چندضلعی دارای ضلع‌ها و زاویه‌های مساوی
  • تقارن: اگر شکلی را از خط یا نقطه مشخصی تا بزنیم به طوری که دو نیمه آن کاملا روی هم منطبق شود، می‌گوییم شکل، دارای تقارن است.
  • خط تقارن: در یک شکل با تقارن محوری، به خطی که اجزای شکل در دو طرف آن، بازتاب یکدیگر باشند، خط تقارن می‌گویند.
  • مرکز تقارن: در یک شکل با تقارن مرکزی یا تقارن چرخشی، اگر شکلی را حول یک نقطه دوران دهیم و نتیجه دوران، روی خود شکل منطبق شود، به آن نقطه، مرکز تقارن می‌گوییم.
  • تعداد خط تقارن چندضلعی‌های منتظم: تعداد خط تقارن یا محور تقارن چندضلعی‌های منتظم برابر با تعداد ضلع‌های آن‌ها است.
  • مرکز تقارن چندضلعی‌های منتظم: زوج‌ضلعی‌های منتظم دارای مرکز تقارن هستند اما فردضلعی‌های منتظم، مرکز تقارن ندارند.
  • خط‌های موازی و مورب: اگر خطی دو خط دیگر را با زاویه‌های مساوی قطع کند، آن دو خط با هم موازی هستند و خط قطع‌کننده آن، با عنوان خط مورب یا خط متقاطع شناخته می‌شود.
  • علامت جبری برای نمایش دو خط موازی: $$ a \parallel b $$ (خط $$ a $$ با خط $$ b $$ موازی است.)
  • علامت جبری برای نمایش دو خط غیرموازی: $$a \nparallel b $$ (خط $$ a $$ با خط $$ b $$ موازی نیست.)
  • خط‌های عمود: اگر دو خط همدیگر را با زاویه $$ ۹۰ ^ { \circ } $$ قطع کنند، می‌گوییم آن دو خط بر هم عمودند.
  • علامت جبری برای نمایش دو خط عمود برهم: $$ a \perp b $$ (خط $$ a $$ بر خط $$ b $$ عمود است.)
  • قوانین خطوط موازی و عمود: دو خط عمود بر یک خط، باهم موازی هستند. اگر خطی بر یکی از دو خط موازی عمود شود، بر دیگری نیز عمود می‌شود. دو خط موازی با یک خط با یکدیگر موازی هستند.
  • متوازی‌الاضلاع: چهارضلعی‌ای که ضلع‌های روبه‌روی آن، دو به دو با هم موازی‌اند.
  • زاویه داخلی: زاویه‌های درون چندضلعی
  • زاویه خارجی: زاویه‌ی در راس چندضلعی بین امتداد یک ضلع با ضلع مجاورش (مکمل زاویه داخلی در هر راس)

توازی و تعامد

دو خط $$ a $$ و $$ b $$، موازی هستند. خط $$ d $$، این دو خط را با زاویه‌های مساوی قطع می‌کند. از این‌رو، به آن خط مورب می‌گویند.

ویژگی‌های زاویه‌های عددگذاری شده در تصویر بالا در موارد زیر خلاصه می‌شود:

  • زاویه‌های مجاور، مکمل یکدیگرند. مثال: زاویه‌های $$ ۱ $$ و $$ ۳ $$
  • زاویه‌های روبه‌رویی یا متقابل به راس، با یکدیگر برابرند. مثال: زاویه‌های $$ ۱ $$ و $$ ۲ $$

زاویه‌های شماره‌گذاری شده را پیدا کنید. خط‌های $$ a $$ و $$ b $$، دو خط موازی هستند.

مشاهده جواب

زاویه $$ ۱۳۵ $$ درجه، با زاویه شماره $$ ۱ $$، یک زاویه نیم‌صفحه را می‌سازد. بنابراین:

$$ \hat { d _ ۱ } + ۱۳۵ ^ { \circ } = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

$$ \hat { d _ ۱ } = ۱۸۰ ^ { \circ } – ۱۳۵ ^ { \circ } $$

$$ \hat { d _ ۱ } = ۴۵ ^ { \circ } $$

زاویه شماره $$ ۲ $$ نیز همین شرایط را در کنار زاویه $$ ۱۳۵ $$ درجه دارد. بنابراین:

$$ \hat { d _ ۲ } = ۴۵ ^ { \circ } $$

زاویه $$ ۱۳۵ $$ درجه، در مقابل زاویه شماره $$ ۴ $$ قرار دارد. از این‌رو، این دو زاویه با هم برابرند:

$$ \hat { d _ ۴ } = ۱۳۵ ^ { \circ } $$

اکنون، تمام زاویه‌های محل تقاطع خط‌های $$ b $$ و $$ d $$ را به دست آوردیم. به دلیل موازی بودن خط‌های $$ a $$ و $$ b $$، تمام این زاویه‌ها با زاویه‌های محل تقاطع خط $$ a $$ و خط $$ d $$ برابر خواهند بود. بنابراین:

$$ \hat { d _ ۳ } = ۱۳۵ ^ { \circ } $$

چهارضلعی ها

متوازی‌الاضلاع، یک چهارضلعی است که ضلع‌های روبه‌روی آن دو به دو با هم موازی و مساوی‌اند. از مهم‌ترین خواص این شکل‌های هندسی می‌توان به موازی بودن ضلع‌های روبه‌رو، مساوی بودن ضلع‌های روبه‌رو، مکمل بودن زاویه‌های داخلی مجاور، داشتن تقارن مرکز تقارن، برابر بودن اندازه قطرها و منصف بودن قطرها اشاره کرد. شکل‌های زیر، از انواع متوازی‌الاضلاع به شمار می‌روند:

  • مستطیل: متوازی‌الاضلاعی با زاویه‌های قائمه
  • لوزی: متوازی‌الاضلاعی با ضلع‌های برابر
  • مربع: متوازی‌الاضلاعی با چهار ضلع مساوی و زاویه‌های قائمه

زاویه های داخلی

زاویه داخلی، زاویه‌ای است که درون یک چندضلعی قرار دارد. تصویر زیر، زاویه‌های داخلی و خارجی یک مثلث را نمایش می‌دهد. در بخش بعدی به تعریف زاویه خارجی می‌پردازیم.

در مبحث زاویه‌های داخلی، مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی‌ها، اهمیت بالایی دارد. شما باید با مجموع زاویه‌های داخلی شکل‌های مهم آشنا باشید. به عنوان مثال، جمع زاویه‌های داخلی مثلث برابر با $$ ۱۸۰ $$ درجه و جمع زاویه‌های داخلی چهارضلعی برابر با $$ ۳۶۰ $$ درجه است. فرمول مجموع زاویه‌های داخلی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ (n-۲) \times ۱۸۰° $$

  • n: تعداد ضلع‌های چندضلعی

زاویه های خارجی

زاویه خارجی، زاویه‌ای است که بین یک ضلع و امتداد آن ضلع تشکیل می‌شود. تصویر زیر، زاویه‌های داخلی و خارجی یک شش‌ضلعی منتظم را نمایش می‌دهد.

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، هر زاویه خارجی با زاویه داخلی مجاورش، یک زاویه نیم‌صفحه (زاویه $$ ۱۸۰ $$ درجه) را تشکیل می‌دهد. به عبارت دیگر:

$$ ۱۸۰ ^ { \circ } $$ = زاویه خارجی مجاور + زاویه داخلی

اندازه زاویه‌های $$ x $$ و $$ y $$ را محاسبه کنید.

مشاهده جواب

در این سوال، یک مثلث با دو زاویه داخلی معلوم را داریم. $$ x $$، زاویه داخلی مجهول و $$ y $$، زاویه خارجی مجهول است. برای به دست آوردن $$ x $$، از فرمول مجموع زاویه‌های داخلی چندضلعی استفاده می‌کنیم. البته بر اساس این فرمول، باید بدانید که مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر با $$ ۱۸۰ $$ درجه است. بنابراین:

$$ ۵۵ ^ { \circ } + ۶۵ ^ { \circ } + \hat { x } = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

$$ \hat { x } = ۱۸۰ ^ { \circ } – ۵۵ ^ { \circ } – ۶۵ ^ { \circ } $$

$$ \hat { x } = ۱۸۰ ^ { \circ } – ۱۲۰ ^ { \circ } $$

$$ \hat { x } = ۶۰ ^ { \circ } $$

در نتیجه، زاویه داخلی $$ x $$ برابر با $$ ۶۰ $$ درجه است. این زاویه، مکمل زاویه خارجی مجاور خود، یعنی زاویه $$ y $$ است. به عبارت دیگر:

$$ \hat { x } + \hat { y } = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

$$ ۶۰ ^ { \circ } + \hat { y } = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

$$ \hat { y } = ۱۸۰ ^ { \circ } – ۶۰ ^ { \circ } $$

$$ \hat { y } = ۱۲۰ ^ { \circ } $$

به خاطر داشته باشید که مجموع زاویه‌های خارجی چندضلعی‌ها، همیشه برابر با $$ ۳۶۰ $$ درجه است. برای اثبات این موضوع می‌توانید مجموع زاویه‌های خارجی چند چندضلعی با زاویه‌های داخلی دلخواه را محاسبه و مقایسه کنید. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث جبر و معادله را معرفی می‌کنیم.

۴. جبر و معادله: فرمول های فصل چهارم ریاضی هشتم

فصل چهارم کتاب ریاضی هشتم، به موضوع جبر و معادله اختصاص دارد. در این فصل، مباحثی مانند ساده کردن عبارت‌های جبری، پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری، تجزیه عبارت‌های جبری و معادله آموزش داده می‌شوند.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

جدول زیر، فرمول های فصل چهارم ریاضی هشتم را نمایش می‌دهد.

عنوان فرمول
فرمول جبری مساحت مربع $$ A = x ^ ۲ $$
فرمول جبری مساحت مستطیل $$ A = x y $$
فرمول جبری مساحت دایره $$ A = \pi r ^ ۲ $$
فرمول جبری مساحت مثلث $$ A = \frac { ۱ } { ۲ } a h $$
فرمول جبری مساحت متوازی‌الاضلاع $$ A = a h $$
فرمول جبری مساحت ذوزنقه $$ A = \frac { ۱ } { ۲ } ( a + b ) h $$

در ادامه نیز، مهم‌ترین نکات فصل چهارم ریاضی هشتم به طور خلاصه آورده شده‌اند:

  • دورقمی بودن عدد $$ a b $$ به صورت $$ \overline { { a b } } $$ نمایش داده می‌شود.
  • تمام اعداد بخش‌پذیر بر $$ ۲ $$، زوج هستند.
  • اگر $$ n $$ یک عدد طبیعی باشد، $$ ۲ n $$، یک عدد زوج و $$ ۲ n + ۱ $$، یک عدد فرد خواهد بود.
  • حاصل‌ضرب دو عدد زوج، یک عدد زوج است.

ساده کردن عبارت های جبری

عبارت‌های جبری، روش بیان مسائل به زبان ریاضی است. روش‌های مختلفی برای ساده کردن این عبارت‌ها وجود دارد. در ادامه، مهم‌ترین مفاهیم این بخش را با حل مثال توضیح می‌دهیم.

عبارت‌های کلامی زیر را به صورت جبری بنویسید:

«یک به توان هر عدد، برابر با یک می‌شود.»

«مربع یا مجذور عدد $$ a $$»

«هر عدد به توان یک، برابر خود عدد می‌شود.»

مشاهده جواب

$$ ۱ ^ a = ۱ $$

$$ a ^ ۲ $$

$$ a ^ ۱ = a $$

عبارت‌های جبری زیر را ساده کنید.

$$ ۹ x + ۷ x – ۸ x – ۳ + ۱۱ x + ۵ $$

$$ ( ۳ x – ۲y ) ( ۲ x – ۳y ) $$

مشاهده جواب

برای ساده‌سازی $$ ۹ x + ۷ x – ۸ x – ۳ + ۱۱ x + ۵ $$، عبارت‌هایی که دارای ضریب $$ x $$ هستند را در کنار یکدیگر قرار می‌دهیم و سپس اعداد را می‌نویسیم:

$$ ۹ x + ۷ x – ۸ x + ۱۱ x – ۳ + ۵ $$

حاصل جمع و تفریق عبارت‌های دارای $$ x $$ برابر است با:

$$ ۹ x + ۷ x – ۸ x + ۱۱ x = ۱۹ x $$

حاصل جمع و تفریق اعداد نیز برابر است با:

$$ – ۳ + ۵ = ۵ – ۳ = ۲ $$

به این ترتیب داریم:

$$ ۹ x + ۷ x – ۸ x – ۳ + ۱۱ x + ۵ = ۱۹ x + ۲ $$

برای ساده‌سازی $$ ( ۳ x – ۲y ) ( ۲ x – ۳y ) $$، باید جمله‌های دو عبارت‌های جبری داخل هر پرانتز را در دیگری ضرب کنیم. برای شروع، جمله اول پرانتز اول را در جمله‌های پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

$$ ۳ x ( ۲ x – ۳ y ) = ( ۳ x ) ( ۲ x ) + ( ۲ x ) ( – ۳ y ) $$

$$ ( ۳ x ) ( ۲ x ) = ۶ x x = ۶ x ^ ۲ $$

$$ ( ۳ x ) ( – ۳ y ) = – ۹ x y $$

$$ ۳ x ( ۲ x – ۳ y ) = ۶ x ^ ۲ – ۹ x y $$

در مرحله بعد، جمله دوم پرانتز اول را در جمله‌های پرانتز دوم ضرب می‌کنیم:

$$ – ۲ y ( ۲ x – ۳ y ) = ( – ۲ y ) ( ۲ x ) + ( – ۲ y ) ( – ۳ y ) $$

$$ ( – ۲ y ) ( ۲ x ) = – ۴ y x $$

$$ ( – ۲ y ) ( – ۳ y ) = ۶ y y = ۶ y ^ ۲ $$

$$ – ۲ y ( ۲ x – ۳ y ) = – ۴ y x + ۶ y ^ ۲ $$

اکنون، حاصل‌ضرب جمله‌های پرانتز اول در پرانتز دوم را با هم جمع می‌کنیم:

$$ ( ۳ x – ۲y ) ( ۲ x – ۳y ) = ۶ x ^ ۲ – ۹ x y – ۴ y x + ۶ y ^ ۲ $$

عبارت‌های $$ x y $$ و $$ y x $$، یکسان هستند. بنابراین، می‌توانیم بنویسیم:

$$ ( ۳ x – ۲y ) ( ۲ x – ۳y ) = ۶ x ^ ۲ – ۹ x y – ۴ x y + ۶ y ^ ۲ $$

$$ – ۹ x y – ۴ x y = ۱۱ x y $$

در نتیجه:

$$ ( ۳ x – ۲y ) ( ۲ x – ۳y ) = ۶ x ^ ۲ – ۱۱ x y + ۶ y ^ ۲ $$

مطلب پیشنهادی:

ساده کردن عبارت های جبری — به زبان ساده + حل تمرین و مثال

شروع مطالعه


پیدا کردن مقدار یک عبارت جبری

عبارت‌های جبری، ترکیبی از جمله‌ها هستند که با عملیات‌های ریاضی (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و غیره) در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند. به عنوان مثال، $$ ۵ x + ۵ $$ یک عبارت جبری است. این عبارت، از یک متغیر ($$ x $$)، یک عدد ($$ ۵ $$) و علامت جمع ($$ + $$) تشکیل می‌شود. اکنون به جای $$ x $$، یک مقدار عددی قرار می‌دهیم. به عنوان مثال، می‌گوییم:

$$ ۵ x + ۱ $$

$$ x = – ۱ $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ ۵ ( – ۱ ) + ۵ = – ۵ + ۵ = ۰ $$

در این مثال، با در نظر گرفتن $$ x = – ۱ $$، مقدار عددی عبارت جبری را به دست آوردیم. مثال بعدی را شما حل کنید.

مساحت مکعب مستطیلی به طول، عرض و ارتفاع زیر را به دست بیاورید:

  • عرض: $$ ۶ $$
  • طول: $$ ۲ $$
  • ارتفاع: $$ ۳ $$
مشاهده جواب

مساحت مساحت مکعب مستطیل با استفاده از فرمول جبری زیر محاسبه می‌شود:

$$
A = ۲ ( w l + l h + h w )
$$

  • w: عرض مکعب مستطیل
  • l: طول مکعب مستطیل
  • h: ارتفاع مکعب مستطیل

در صورت سوال، مقدار هر یک از متغیرهای بالا داده شده است.

  • w: عرض مکعب مستطیل برابر با ۶ $$ w = ۶ $$
  • l: طول مکعب مستطیل برابر با ۲ $$ l = ۲ $$
  • h: ارتفاع مکعب مستطیل برابر با ۳ $$ h = ۳ $$

این مقادیر را به جای متغیر مربوط به آن‌ها درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$
A = ۲ ( w l + l h + h w ) = ۲ ( ۶ \times ۲ + ۲ \times ۳ + ۳ \times ۶ )
$$

از آنجایی که عملیات ضرب نسبت به جمع اولویت دارد، رابطه بالا به صورت زیر ساده می‌شود:

$$
A = ۲ ( ۱۲ + ۶ + ۱۸ )
$$

$$
A = ۲ ( ۳۶ )
$$

$$
A = ۷۲
$$

تجزیه عبارت های جبری

تجزیه عبارت‌های جبری، فرآیند نمایش عبارت‌های جبری به صورت ضرب دو یا چند عبارت است. به عنوان مثال، عبارت جبری زیر را در نظر بگیرید:

$$ a ( b + c ) $$

بر اساس خاصیت توزیع‌پذیری، می‌توانیم $$ a $$ در هر یک از جمله‌های داخل پرانتز ضرب کنیم و به عبارت زیر برسیم:

$$ a ( b + c ) = a b + a c $$

اکنون، عبارت $$ a b + a c $$ را در نظر بگیرید. این عبارت را به صورت ضرب زیر می‌نویسیم:

$$ a b + a c = a ( b + c ) $$

طی فرآیند بالا، عمل تجزیه را بر روی عبارت جبری انجام داده‌ایم. خاصیت توزیع‌پذیری و تجزیه، عکس یکدیگر هستند. تجزیه عبارت‌های جبری، طی یک فرآیند ساده انجام می‌گیرد. در این فرآیند، ابتدا عامل یا بخش مشترک بین جمله‌های عبارت جبری شناسایی شده و سپس، عامل مشترک در مجموع جمله‌های غیرمشترک ضرب می‌شود.

صورت و مخرج کسر زیر را تجزیه و سپس کسر را ساده کنید.

$$
\frac { a ^ ۲ b – a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ – a ^ ۲ b ^ ۳}
$$

مشاهده جواب

ساده‌سازی کسر را با تجزیه صورت و مخرج آن شروع می‌کنیم. به این منظور، صورت کسر را در نظر بگیرید:

$$
a ^ ۲ b – a b ^ ۲
$$

برای تجزیه این عبارت، باید عامل مشترک جمله‌های آن را پیدا کنیم. عامل مشترک، پارامتری است که در هر جمله وجود دارد. عامل مشترک عبارت بالا، $$ a b $$ است.

$$ a ^ ۲ b = a b \times a $$

$$ a b ^ ۲ = a b \times b $$

به منظور نوشتن عبارت تجزیه شده، عامل مشترک را پشت یک پرانتز می‌نویسیم:

$$
a ^ ۲ b – a b ^ ۲ = a b ( \ \ \ \ \ \ \ )
$$

عبارت جبری صورت کسر، دو جمله دارد که علامت یکی از آن‌ها مثبت و دیگری منفی است. این علامت‌ها را به ترتیب درون پرانتز قرار می‌دهیم:

$$
a ^ ۲ b – a b ^ ۲ = a b ( + \ \ \ – \ \ \ \ )
$$

سپس، عامل غیرمشترک هر جمله را به ترتیب، درون پرانتز جایگذاری می‌کنیم:

$$
a ^ ۲ b – a b ^ ۲ = a b ( + a -b )
$$

$$
a ^ ۲ b – a b ^ ۲ = a b ( a -b )
$$

در مرحله بعد، عبارت جبری مخرج کسر را در نظر می‌گیریم:

$$
a ^ ۳ b ^ ۲ – a ^ ۲ b ^ ۳
$$

عامل مشترک جمله‌های این عبارت، $$ a ^ ۲ b ^ ۲ $$ است. مانند صورت، مخرج را نیز تجزیه می‌کنیم:

$$
a ^ ۳ b ^ ۲ – a ^ ۲ b ^ ۳ = a ^ ۲ b ^ ۲ ( a – b )
$$

عبارت‌های تجزیه شده را درون کسر قرار می‌دهیم:

$$
\frac { a ^ ۲ b – a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ – a ^ ۲ b ^ ۳} = \frac { a b ( a -b ) } { a ^ ۲ b ^ ۲ ( a – b ) }
$$

$$ ( a – b ) $$ را از صورت و مخرج کسر ساده می‌کنیم:

$$
\frac { a ^ ۲ b – a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ – a ^ ۲ b ^ ۳} = \frac { a b } { a ^ ۲ b ^ ۲ }
$$

مخرج کسر را به صورت ضرب $$ a b $$ در $$ a b $$ می‌نویسیم:

$$
\frac { a ^ ۲ b – a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ – a ^ ۲ b ^ ۳} = \frac { a b } { a b \times a b }
$$

اکنون می‌توانیم $$ a b $$ را نیز از صورت و مخرج ساده کنیم:

$$
\frac { a ^ ۲ b – a b ^ ۲ } { a ^ ۳ b ^ ۲ – a ^ ۲ b ^ ۳} = \frac { ۱ } { a b }
$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با کمک تجزیه عبارت‌های جبری، کسر اولیه به یک کسر ساده تبدیل شد.

معادله

معادله، گزاره‌ای است که برابر بودن دو عبارت جبری را نمایش می‌دهد. بسیاری از مسائل ریاضی، به کمک مفهوم معادله بیان و حل می‌شوند. چندین معادله در ادامه آورده شده‌اند:

$$
– \frac { ۳ }{ ۸ } x + ۵ = \frac { ۱ } { ۶ }
$$

$$
\frac { ۵ }{ ۱۲ } x – \frac { ۷ } { ۱۸ } = ۲
$$

$$
۴ x + \frac { ۲ }{ ۷ } = \frac { ۳ } { ۲ } x
$$

روش‌های مختلفی برای حل معادله وجود دارد. ساده‌ترین روش حل معادلات بالا (معادلات درجه اول)، نوشتن اعداد در یک سمت معادله و نوشتن متغیر در سمت دیگر است.

عرض مستطیلی برابر با $$ ۵ $$ سانتی‌متر و محیط آن برابر با $$ ۲۴ $$ سانتی‌متر است. طول مستطیل را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

برای به دست آوردن طول مستطیل، فرمول جبری محیط مستطیل را می‌نویسیم:

$$ P = ۲ ( l + w ) $$

  • P: محیط مستطیل برابر با $$ ۲۴ $$ سانتی‌متر
  • l: طول مستطیل
  • w: عرض مستطیل برابر با $$ ۵ $$ سانتی‌متر

مقادیر معلوم را درون فرمول محیط مستطیل قرار می‌دهیم:

$$ ۲۴ = ۲ ( l + ۵ ) $$

اکنون، یک معادله با یک متغیر مجهول ($$ l $$) داریم. برای حل این معادله، سعی می‌‌کنیم اعداد را به یک سمت ببریم و متغیر را در سمت دیگر نگه داریم. به این منظور، ابتدا دو طرف معادله را تقسیم بر $$ ۲ $$ می‌کنیم تا ضریب پشت پرانتز از بین برود:

$$ ۱۲ = l + ۵ $$

در مرحله بعد، عدد $$ ۵ $$ را به سمت دیگر می‌بریم:

$$ ۱۲ -۵ = l $$

$$ ۷ = l $$

در نتیجه، طول مستطیل برابر با $$ ۷ $$ سانتی‌متر است.

در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث بردار و مختصات را معرفی می‌کنیم.

۵. بردار و مختصات: فرمول های فصل پنجم ریاضی هشتم

فصل پنجم کتاب ریاضی هشتم، به معرفی فرمول های جمع بردارها، ضرب عدد در بردار و بردارهای واحد مختصات می‌پردازد.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

جدول زیر، مهم‌ترین فرمول های فصل پنجم ریاضی هشتم را نمایش می‌دهد.

عنوان فرمول
جمع برداری $$
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
z \\
t
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x +z \\
y+t
\end{bmatrix}
$$
ضرب عدد در بردار $$
k \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
k x \\
k y
\end{bmatrix}
$$
قرینه بردار $$ \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix} $$
$$
\begin{bmatrix}
– x \\
– y
\end{bmatrix}
$$
مختصات بردارهای واحد $$
\vec { i } = \begin{bmatrix} ۱ \\ ۰ \end{bmatrix}
$$$$
\vec { j } = \begin{bmatrix} ۰ \\ ۱ \end{bmatrix}
$$

جمع بردارها

بردار، کمیتی است که دارای اندازه و جهت است. به عنوان مثال، اگر شخصی از نقطه $$ A $$ به سمت نقطه $$ B $$ حرکت کند، میزان و جهت جابجایی آن، با $$ \vec { A B } $$ نمایش داده می‌شود. اکنون اگر شخص، مسیر خود را از نقطه $$ B $$ تا نقطه $$ C $$ ادامه دهد، بردار $$ \vec { B C } $$ به اندازه و جهت حرکت او اضافه می‌شود.

برای اینکه بفهمیم شخص، مجموعا به چه اندازه و در کدام جهت حرکت کرده است، از جمع برداری استفاده می‌کنیم. در تصویر بالا، حاصل جمع بردارهای $$ \vec { A B } $$ و $$ \vec { B C } $$، برداری است که ابتدای $$ \vec { A B } $$ را به انتهای $$ \vec { B C } $$ وصل می‌کند. این بردار، $$ \vec { A C} $$ است.

فرمول جمع برداری در فضای دوبعدی به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \vec { A B } + \vec { B C } = \vec { A C } $$

$$
\vec { A B } = \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
$$

$$
\vec { B C } = \begin{bmatrix}
z \\
t
\end{bmatrix}
$$

$$
\vec { A C } = \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
z \\
t
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x +z \\
y+t
\end{bmatrix}
$$

در تساوی زیر، مقدار $$ x $$ و $$ y $$ را به دست بیاورید.

$$
\begin{bmatrix}
\ \ \ ۳ \\
– ۴
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
\ \ \ x \\
– ۲
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
۷ \\
y
\end{bmatrix}
$$

مشاهده جواب

رابطه کلی جمع دو بردار به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
z \\
t
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x +z \\
y+t
\end{bmatrix}
$$

با توجه به این رابطه و اطلاعات صورت سوال، داریم:

$$
۳ + x = ۷ \ \to \ x = ۷ – ۳ =۴
$$

$$
– ۴ – ۲ = y \ \to \ y = – ۶
$$

ضرب عدد در بردار

اگر یک عدد ثابت را در یک بردار ضرب کنیم، آن عدد در طول و عرض بردار ضرب می‌شود. نمایش جبری ضرب عدد در بردار به صورت زیر است:

$$
k \begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
k x \\
k y
\end{bmatrix}
$$

برای به دست آوردن قرینه یک بردار، آن را در عدد $$ – ۱ $$ ضرب می‌کنیم. به عنوان مثال، اگر $$ \vec { b } $$، قرینه بردار $$ \vec { a } = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$ باشد، داریم:

$$
\vec { b } = – \vec { a } = \begin{bmatrix} – x \\
– y
\end{bmatrix}
$$

بردارهای $$ \vec { a } $$ و $$ \vec { b } $$ را در نظر بگیرید. بردار $$ \vec { c } = ۲ \vec { a } + ۳ \vec { b } $$ را رسم کنید.

مشاهده جواب

برای به دست آوردن $$ \vec { c } = ۲ \vec { a } + ۳ \vec { b } $$، ابتدا، بردارهای $$ ۲ \vec { a } $$ و $$ ۳ \vec { b } $$ را رسم می‌کنیم.

اکنون، می‌توانیم حاصل جمع بردارهای $$ ۲ \vec { a } $$ و $$ ۳ \vec { b } $$ را به دست بیاوریم. از آنجایی که ابتدای هر دو بردار روی یکدیگر قرار دارد، از روشی موسوم به روش متوازی‌الاضلاع استفاده می‌کنیم. در این روش، یک بردار هم‌اندازه $$ ۲ \vec { a } $$ را در انتهای $$ ۳ \vec { b } $$ و یک بردار هم‌اندازه $$ ۳ \vec { b } $$ را در انتهای $$ ۲ \vec { a } $$ رسم می‌کنیم.

قطر متوازی‌الاضلاع بالا، حاصل جمع برداری $$ \vec { c } = ۲ \vec { a } + ۳ \vec { b } $$ خواهد بود.

حاصل عبارت زیر را به دست بیاورید.

$$
\left ( – \frac { ۱ }{ ۲ } \right )\left ( \begin{matrix} ۱۲ \\ -۸ \end{matrix} \right ) + ۶ \left ( \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \end{matrix} \right )
$$

مشاهده جواب

عبارت $$ \left ( – \frac { ۱ }{ ۲ } \right )\left ( \begin{matrix} ۱۲ \\ -۸ \end{matrix} \right ) + ۶ \left ( \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \end{matrix} \right ) $$، حاصل جمع دو بردار را نمایش می‌دهد که هر یک از آن‌ها در یک عدد ضرب شده‌اند. از این‌رو، برای به دست آوردن حاصل عبارت، ابتدا باید جواب ضرب عدد در هر بردار را به دست بیاوریم. به این منظور، به صورت زیر عمل می‌کنیم:

$$\left ( – \frac { ۱ }{ ۲ } \right )\left ( \begin{matrix} ۱۲ \\ -۸ \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} \left ( – \frac { ۱ }{ ۲ } \right ) \times ۱۲ \\ \left ( – \frac { ۱ }{ ۲ } \right ) \times ( – ۸ ) \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} – ۶ \\ ۴ \end{matrix} \right ) $$

$$ ۶ \left ( \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} ۶ \times ۷ \\ ۶ \times ۳ \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} ۴۲ \\ ۱۸ \end{matrix} \right )$$

در نهایت، جواب ضرب‌های عدد در بردار را با هم جمع می‌کنیم:

$$\left ( \begin{matrix} – ۶ \\ ۴ \end{matrix} \right ) + \left ( \begin{matrix} ۴۲ \\ ۱۸ \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} – ۶ + ۴۲ \\ ۴ + ۱۸\end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} ۳۶ \\ ۲۲ \end{matrix} \right )$$

$$\left ( – \frac { ۱ }{ ۲ } \right )\left ( \begin{matrix} ۱۲ \\ -۸ \end{matrix} \right ) + ۶ \left ( \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \end{matrix} \right )
= \left ( \begin{matrix} ۳۶ \\ ۲۲ \end{matrix} \right )$$

بردارهای واحد مختصات

بردار واحد، برداری با اندازه (طول یا عرض) واحد است. بردارهای واحد روی محورهای مختصات به صورت زیر نمایش داده می‌شوند:

$$
\vec { i } = \begin{bmatrix} ۱ \\ ۰ \end{bmatrix}
$$

$$
\vec { j } = \begin{bmatrix} ۰ \\ ۱ \end{bmatrix}
$$

از بردارهای واحد، برای نمایش ساده و خطی بردارهای دیگر استفاده می‌شود. برای درک این موضوع، مثال زیر را حل کنید.

مختصات بردار $$ \vec { a } $$ را به دست بیاورید.

$$
\vec { a } = ۴ \vec { i } + ۲ \vec { j }
$$

مشاهده جواب

برای پاسخگویی به این سوال، ابتدا مختصات بردارهای واحد را در نظر بگیرید:

$$
\vec { i } = \begin{bmatrix} ۱ \\ ۰ \end{bmatrix}
$$

$$
\vec { j } = \begin{bmatrix} ۰ \\ ۱ \end{bmatrix}
$$

این مختصات را درون رابطه $$ \vec { a } $$ قرار می‌دهیم:

$$
\vec { a } = ۴ \begin{bmatrix} ۱ \\ ۰ \end{bmatrix}
+ ۲ \begin{bmatrix} ۰ \\ ۱ \end{bmatrix}
$$

با توجه به قاعده ضرب عدد در بردار، داریم:

$$
\vec { a } = \begin{bmatrix} ۴ \\ ۰ \end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix} ۰ \\ ۲ \end{bmatrix}
$$

اکنون، بردارهای موجود را بر اساس قاعده جمع برداری، با هم جمع می‌کنیم:

$$
\vec { a } = \begin{bmatrix} ۴ \\ ۲ \end{bmatrix}
$$

$$
\vec { a } = ۴ \vec { i } + ۲ \vec { j } = \begin{bmatrix} ۴ \\ ۲ \end{bmatrix}
$$

در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث مثلث را معرفی می‌کنیم.

۶. مثلث: فرمول های فصل ششم ریاضی هشتم

در فصل ششم کتاب ریاضی هشتم، مباحث مرتبط با مثلث‌ها از جمله رابطه فیثاغورس، شکل‌های هم‌نهشت، مثلث‌های هم‌نهشت و هم‌نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه تدریس می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

از مهم‌ترین فرمول های فصل ششم ریاضی هشتم، می‌توان به قضیه فیثاغورس اشاره کرد. رابطه قضیه فیثاغورس به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ a ^ ۲ = b ^ ۲ + c ^ ۲ $$

  • a: اندازه وتر مثلث قائم‌الزاویه
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث قائم‌الزاویه

در جدول زیر، برخی از تعاریف و ویژگی‌های مهم فصل ششم ریاضی هشتم، به طور خلاصه آورده شده‌اند.

عنوان تعریف
قضیه فیثاغورس در یک مثلث قائم‌الزاویه، مجذور وتر با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برابر است.
عکس قضیه فیثاغورس اگر در مثلثی، مجذور یک ضلع با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برابر باشد، آن مثلث، قائم‌‌الزاویه است.
هم‌نهشتی به شکل‌هایی که با یک یا چند تبدیل هندسی، کاملا بر روی هم منطبق می‌شوند را شکل‌های هم‌نهشت می‌گویند.
حالت‌های هم‌نهشتی مثلث‌ها (ض ض ض)، (ض ز ض) و (ز ض ز)
حالت‌های هم‌نهشتی مثلث قائم‌الزاویه (و ض) و (و ز)
فاصله نقاط عمود منصف پاره‌خط از دو سر آن هر نقطه روی عمود منصف یک پاره‌خط، از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است.
فاصله نقاط نیمساز از دو ضلع زاویه هر نقطه روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است.

رابطه فیثاغورس

رابطه فیثاغورس، یکی از مهم‌ترین و شناخته شده‌ترین فرمول های ریاضی است که در حوزه‌های مختلفی از جمله مثلثات کاربرد دارد. این رابطه به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ a ^ ۲ = b ^ ۲ + c ^ ۲ $$

  • a: اندازه وتر مثلث قائم‌الزاویه
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث قائم‌الزاویه

آیا مثلثی با ضلع‌های ۶، ۸ و ۱۰ سانتی‌متر، قائم‌الزاویه است؟

مشاهده جواب

اگر اندازه ضلع‌های مثلث، در رابطه فیثاغورس صدق کند، آن مثلث به عنوان یک مثلث قائم‌الزاویه در نظر گرفته می‌شود. در اینجا، اندازه ضلع‌ها برابر است با:

  • ۶ سانتی‌متر
  • ۸ سانتی‌متر
  • ۱۰ سانتی‌متر

می‌دانیم که در صورت قائم‌الزاویه بودن مثلث، اندازه وتر آن از ساق‌ها بزرگ‌تر خواهد بود. بنابراین، ضلع ۱۰ سانتی‌متری را به عنوان وتر در نظر می‌گیریم و مقدار آن را به همراه اندازه ساق‌ها، درون رابطه فیثاغورس قرار می‌دهیم:

$$ a ^ ۲ = b ^ ۲ + c ^ ۲ $$

  • a: اندازه وتر مثلث قائم‌الزاویه برابر با ۱۰ سانتی‌متر
  • b: اندازه یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه برابر با ۶ سانتی‌متر
  • c: اندازه ساق دیگر مثلث قائم‌الزاویه برابر با ۸ سانتی‌متر

$$ ۱۰ ^ ۲ = ۶ ^ ۲ + ۸ ^ ۲ $$

$$ ۱۰۰ = ۳۶ + ۶۴ $$

$$ ۱۰۰ = ۱۰۰ \ \ \ \checkmark $$

شکل های هم نهشت

اگر شکلی را بتوانیم با یک یا چند تبدیل هندسی مانند تقارن، دوران و یا انتقال، طوری بر شکل دیگر منطبق کنیم که هر دو شکل یکدیگر را کاملا بپوشانند، می‌گوییم این دو شکل، هم‌نهشت هستند.

هم‌نهشت بودن شکل‌ها را با علامت زیر نمایش می‌دهیم:

$$
\cong
$$

هم‌نهشت نبودن شکل‌ها را نیز با علامت زیر بیان می‌کنیم:

$$
\not\cong
$$

به عنوان مثال، اگر دو مثلث $$ A B C $$ و $$ G H F $$، هم‌نهشت باشند، می‌نویسیم:

$$
\triangle { A B C } \cong \triangle { G H F }
$$

مثلث های هم نهشت

مثلث‌ها، یکی از شکل‌های پرکاربرد هندسی هستند که مسئله هم‌نهشتی برای آن‌ها، معمولا بیشتر از دیگر شکل‌های هندسی مطرح می‌شود. برای هم‌نهشتی و مثلث، سه حالت کلی وجود دارد:

  • (ض ض ض): برابری سه ضلع
  • (ض ز ض): برابری دو ضلع و زاویه بین
  • (ز ض ز): برابری دو زاویه و ضلع بین

به عنوان مثال، اگر دو مثال، دارای سه ضلع هم‌اندازه باشند، با توجه به حالت (ض ض ض)، هم‌نهشت خواهند بود.

هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه

در مثلث‌های قائم‌الزاویه، ضمن مشخص بودن اندازه یکی از زاویه‌ها (زاویه $$ ۹۰ $$ درجه)، بر اساس رابطه فیثاغورس، اندازه ضلع‌ها با یکدیگر رابطه دارند. همین ویژگی، دو حالت هم‌نهشتی دیگر در مثلث‌های قائم‌الزاویه به وجود می‌آورد که عبارت هستند از:

  • (و ض): برابری وتر و یک ضلع
  • (و ز): برابری وتر و یک زاویه تند (زاویه غیرقائمه)

در حالت (و ض)، اگر وتر و یکی از ساق‌ها در دو مثلث با هم برابر باشند، با توجه به رابطه فیثاغورس، ضلع سوم آن‌ها نیز با هم برابر خواهد بود و حالت (ض ض ض) به وجود می‌آید. در حالت (و ز)، به دلیل برابر بودن یک زاویه تند و زاویه قائمه، قطعا زاویه سوم دو مثلث نیز با هم برابر می‌شود. علاوه بر این، از آنجایی که وترها با هم برابرند، حال (ز ض ز) به وجود می‌آید. در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث توان و جذر را معرفی می‌کنیم.

۷. توان و جذر: فرمول های فصل هفتم ریاضی هشتم

عنوان فصل هفتم کتاب ریاضی هشتم، «توان و جذر» است. در این فصل، مباحثی نظیر توان، تقسیم اعداد توان‌دار، جذر تقریبی، نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد و خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها آموزش داده می‌شود.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

مهم‌ترین فرمول های فصل هفتم ریاضی هشتم در جدول زیر آورده شده‌اند.

عنوان فرمول
ضرب دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی $$ a ^ m \times a ^ n = a ^ { m + n } $$
ضرب دو عدد توان‌دار با توان مساوی $$ a ^ m \times b ^ m = ( a \times b ) ^ m $$
حاصل یک عدد توان‌دار به توان عدد دیگر $$ \left ( a ^ m \right ) ^ n = a ^ { m n } $$
تقسیم دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی $$ a ^ m \div a ^ n = a ^ { m – n } $$
تقسیم دو عدد توان‌دار با توان‌های مساوی $$ a ^ m \div b ^ m = \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ m $$
جذر حاصل‌ضرب دو عدد $$ \sqrt { a b } = \sqrt { a } \sqrt { b } $$
جذر حاصل تقسیم دو عدد $$
\sqrt { \frac{ a } { b } } = \frac { \sqrt { a } }{ \sqrt { b } }
$$

در فرمول های بالا، $$ a $$، یک عدد دلخواه بوده و $$ m $$ و $$ n $$، دو عدد طبیعی هستند. $$ b $$ نیز یک عدد طبیعی غیرصفر است ($$ b \ne ۰ $$).

یادآوری ضرب اعداد توان دار

اعداد توان‌دار، اعدادی هستند که به صورت ترکیبی و به فرم زیر نمایش داده می‌شوند:

$$ a ^ m $$

اجزای اعداد توان‌دار، عبارت هستند از:

  • پایه: عددی که در پایین نوشته می‌شود (مانند $$ a $$ در $$ a ^ m $$).
  • نما: عدد که در بالا نوشته می‌شود (مانند $$ m $$ در $$ a ^ m $$).

در فصل هفتم کتاب ریاضی هشتم، اشاره‌ای به جمع و تفریق دو عدد توان دار نمی‌شود. البته می‌توان رابطه کلی زیر را برای انجام این عملیات در نظر گرفت:

$$
x a^b \; \pm \; y a^b = (x \pm y ) a^b
$$

روابط مربوط به ضرب اعداد توان‌دار با پایه یا مبنای مساوی، عبارت هستند از:

$$ a ^ m \cdot a ^ n = a ^ { m + n } $$

$$ a ^ m \cdot b ^ m = ( a b ) ^ m $$

حاصل عبارت $$ ۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ $$ را به صورت یک عبارت توان‌دار بنویسید.

مشاهده جواب

برای ساده‌سازی $$ ۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ $$، از قوانین ضرب اعداد توان‌دار استفاده می‌کنیم. به این منظور، ابتدا عدد $$ ۱۲۵ $$ را به فرم توانی زیر می‌نویسیم:

$$ ۱۲۵ = ۵ ^ ۳ $$

به این ترتیب، داریم:

$$ ۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ = ۵ ^ ۳ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ $$

توان تمام عددهای بالا برابر با $$ ۳ $$ است. بنابراین و بر اساس فرمول ضرب عددهای توان‌دار با توان مساوی، خواهیم داشت:

$$ a ^ m \cdot b ^ m = ( a b ) ^ m $$

$$
۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ = \left ( ۵ \times ۱۸ \times \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳
$$

در نتیجه:

$$
۱۲۵ \times ۱۸ ^ ۳ \times \left ( \frac { ۱ } { ۹ } \right ) ^ ۳ = ۱۰ ^ ۳
$$

اگر یک عدد توان‌دار را به توان عدد دیگر برسانیم، حاصل آن، عددی با مبنایی برابر با مبنای قبلی و نمایی برابر با حاصل‌ضرب توان‌ها خواهد بود. این قانون در قالب فرمول زیر بیان می‌شود:

$$ \left ( a ^ m \right ) ^ n = a ^ { m n } $$

حاصل عبارت $$ ۲ ^ ۳ \times \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ $$ را به صورت یک عبارت توان‌دار بنویسید.

مشاهده جواب

برای به دست آوردن حاصل عبارت $$ ۲ ^ ۳ \times \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ $$، ابتدا به سراغ جمله دارای پرانتز می‌رویم. این جمله، عبارت است از:

$$ \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ $$

با توجه به فرمول حاصل یک عدد توان‌دار به توان عدد دیگر، داریم:

$$ \left ( a ^ m \right ) ^ n = a ^ { m n } $$

$$ \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ = ۲ ^ { ۲ \times ۴ } $$

$$ \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ = ۲ ^ ۸ $$

این عدد را درون عبارت مورد سوال قرار می‌دهیم:

$$ ۲ ^ ۳ \times \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ = ۲ ^ ۳ \times ۲ ^ ۸ $$

حاصل‌ضرب دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی عبارت است از:

$$ a ^ m \times a ^ n = a ^ { m + n } $$

$$ ۲ ^ ۳ \times ۲ ^ ۸ = ۲ ^ { ۳ + ۸ } = ۲ ^ { ۱۱ } $$

در نتیجه:

$$ ۲ ^ ۳ \times \left ( ۲ ^ ۲ \right ) ^ ۴ = ۲ ^ { ۱۱ } $$

تقسیم اعداد توان دار

مبحث تقسیم اعداد توان‌دار در کتاب ریاضی هشتم، در دو فرمول زیر خلاصه می‌شود:

$$ a ^ m \div a ^ n = a ^ { m – n } $$

$$ a ^ m \div b ^ m = \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ m $$

دمای مرکز خورشید حدود $$ ۱۵ $$ میلیون درجه سلسیوس و دمای مرکز زمین حدود $$ ۵ $$ هزار درجه سلسیوس است. نسبت دمای مرکز خورشید به دمای مرکز زمین را به صورت یک عدد توان‌دار بیان کنید.

مشاهده جواب

جواب

یکی از روش‌های رایج برای نمایش اعداد بزرگ یا کوچک در دنیای ریاضی و فیزیک، استفاده از نماد علمی است. در این روش، عدد مورد نظر به صورت یک عدد توان‌دار بیان می‌شود. در این مثال، دمای مرکز خورشید، در حدود $$ ۱۵ $$ میلیون درجه سلسیوس یا $$ ۱۵ ۰۰۰۰۰۰ $$ درجه سلسیوس است. برای نمایش ساده‌تر، این عدد به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ ۱۵ ۰۰۰۰۰۰ = ۱۵ \times ۱۰ ^ ۷ $$

دمای مرکز زمین، برابر با $$ ۵۰۰۰ $$ درجه سلسیوس یا $$ ۵ \times ۱۰ ^ ۳ C $$ درجه سلسیوس است. اکنون اگر بخواهیم نسبت این دو دما را به دست بیاوریم، می‌نویسیم:

$$ \frac { ۱۵ \times ۱۰ ^ ۷ }{ ۵ \times ۱۰ ^ ۳ } $$

این عبارت را به صورت زیر ساده می‌کنیم:

$$ \frac { ۱۵ }{ ۵ } \times \frac { ۱۰ ^ ۷ }{ ۱۰ ^ ۳ } $$

بر اساس فرمول تقسیم دو عدد توان‌دار با پایه‌های مساوی، داریم:

$$ a ^ m \div a ^ n = a ^ { m – n } $$

$$ \frac { ۱۰ ^ ۷ }{ ۱۰ ^ ۳ } = ۱۰ ^ { ۷ – ۳ } = ۱۰ ^ ۴ $$

$$ \frac { ۱۵ }{ ۵ } \times \frac { ۱۰ ^ ۷ }{ ۱۰ ^ ۳ } = \frac { ۱۵ }{ ۵ } \times ۱۰ ^ ۴ = ۳ \times ۱۰ ^ ۴ $$

در نتیجه، نسبت دمای مرکز خورشید به دمای مرکز زمین، حدود $$ ۳ \times ۱۰ ^ ۴ $$ است.

حاصل تقسیم $$ \frac { ۹ ^ ۴ } { ۳ ^ ۴ } $$ چیست؟

مشاهده جواب

$$ \frac { ۹ ^ ۴ } { ۳ ^ ۴ } $$، تقسیم دو عدد توان‌دار با توان مساوی را نمایش می‌دهد. حاصل این عبارت از رابطه زیر به دست می‌آید:

$$ a ^ m \div b ^ m = \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ m $$

$$ \frac { ۹ ^ ۴ } { ۳ ^ ۴ } = \left ( \frac { ۹ } { ۳ } \right ) ^ ۴ $$

$$ \left ( \frac { ۹ } { ۳ } \right ) ^ ۴ = ۳ ^ ۴ $$

$$ \frac { ۹ ^ ۴ } { ۳ ^ ۴ } = ۳ ^ ۴ $$

جذر تقریبی

جذر، ریشه دوم یا رادیکال، از پرکاربردترین مفاهیم در حل مسائل ریاضی، مخصوصا حل معادله درجه دو است. اگر عدد زیر رادیکال، مربع کامل (حاصل‌ضرب یک عدد در خودش) نباشد، جذر عدد برابر با یک عدد طبیعی نیست. بنابراین، یا باید آن را به صورت رادیکالی بیان کرد، یا مقدار تقریبی آن را به دست آورد. کتاب هشتم ریاضی، فرآیند زیر را برای تعیین مقدار تقریبی جذر یک عدد معرفی می‌کند:

  1. در نظر گرفتن نزدیک‌ترین مربع‌های کامل بزرگ‌تر و کوچک‌تر از عدد زیر رادیکال
  2. محاسبه وسط دو عدد انتخابی
  3. محاسبه مربع عدد به دست آمده در مرحله دوم
  4. تشخیص بزرگ‌تر یا کوچک‌تر بودن جواب رادیکال با مقایسه عدد به دست آمده در مرحله سوم و عدد زیر رادیکال اصلی
    • اگر عدد به دست آمده در مرحله سوم، کوچک‌تر از عدد زیر رادیکال باشد، بازه جذر تقریبی به سمت بالا محدود می‌شود.
    • اگر عدد به دست آمده در مرحله سوم، بزرگ‌تر از عدد زیر رادیکال باشد، بازه جذر تقریبی به سمت پایین محدود می‌شود.
  5. تکرار مراحل دو تا چهار برای افزایش دقت تقریب

فرآیند محاسبه جذر تقریبی را با حل یک مثال مرور می‌کنیم.

جواب $$ \sqrt { ۴۰ } $$ را به کمک جذر تقریبی به دست بیاورید.

مشاهده جواب

برای به دست آوردن جواب تقریبی $$ \sqrt { ۴۰ } $$، ابتدا نزدیک‌ترین مربع‌های کامل بزرگ‌تر و کوچک‌تر از عدد زیر رادیکال ($$ ۴۰ $$) را مشخص می‌کنیم. این اعداد، $$ ۳۶ $$ , $$ ۴۹ $$ هستند. بنابراین:

\sqrt { ۳۶ } \lt \sqrt { ۴۰ } \lt \sqrt { ۴۹ }

به عبارت دیگر، $$ \sqrt { ۴۰ } $$، بین عدد $$ ۶ $$ و $$ ۷ $$ قرار دارد:

$$ ۶ \lt \sqrt { ۴۰ } \lt ۷ $$

در مرحله بعد، وسط $$ ۶ $$ و $$ ۷ $$ را در نظر می‌گیریم. این عدد برابر است با:

$$ \frac { ۶ + ۷ } { ۲ } = ۶/۵ $$

در قدم بعدی، عدد بالا را به توان $$ ۲ $$ می‌رسانیم:

$$ ۶/۵ ^ ۲ = ۴۲/۲۵ $$

عدد $$ ۴۲/۵ $$، بزرگ‌تر از $$ ۴۰ $$ است. بنابراین، جواب $$ \sqrt { ۴۰ } $$، کوچک‌تر از $$ ۶/۵ $$ و بزرگ‌تر $$ ۶ $$ خواهد بود. یعنی:

$$ ۶ \lt \sqrt { ۴۰ } \lt ۶/۵ $$

وسط دو عدد $$ ۶ $$ و $$ ۶/۵ $$ برابر با $$ ۶/۲۵ $$ بوده و مربع آن برابر با $$ ۳۹/۰۶۲۵ $$ است. به دلیل کوچک‌تر بودن $$ ۳۹/۰۶۲۵ $$ از $$ ۴۰ $$، جواب $$ \sqrt { ۴۰ } $$، بین $$ ۶/۲۵ $$ تا $$ ۶/۵ $$ خواهد بود. با توجه به کوچک بودن بازه، جواب مربع‌های بین $$ ۶/۲۵ $$ تا $$ ۶/۵ $$ را حساب کرده و با $$ ۴۰ $$ مقایسه می‌کنیم:

$$ ۶/۲۵ ^ ۲ = ۳۰/۰۶۲۵ $$

$$ ۶/۳۰ ^ ۲ = ۳۹/۶۹ $$

$$ ۶/۳۵ ^ ۲ = ۴۰/۳۲۲۵ $$

$$ ۶/۴۰ ^ ۲ = ۴۰/۶۴ $$

$$ ۶/۴۵ ^ ۲ = ۴۱/۶۰۲۵ $$

$$ ۶/۵ ^ ۲ = ۴۲/۲۵ $$

از میان اعداد بالا، $$ ۳۹/۶۹ $$ به $$ ۴۰ $$ نزدیک‌تر است، در نتیجه، جواب تقریبی $$ \sqrt { ۴۰ } $$ را می‌توانیم برابر با $$ ۶/۳۰ $$ در نظر بگیریم.

نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد

نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد، با استفاده از مفاهیم مرتبط با مثلث قائم‌الزاویه و قضیه فیثاغورس انجام می‌شود. برای درک فرآیند انجام این کار، می‌خواهیم عدد $$ \sqrt { ۲ } – ۲ $$ را روی محور اعداد مشخص کنیم. به این منظور، ابتدا عدد مورد نظر را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم تا از بخش غیررادیکالی آن به عنوان جمله اول و بخش رادیکالی آن، به عنوان جمله دوم دیده شود:

$$ – ۲ + \sqrt { ۲ } $$

عدد غیررادیکالی، نقطه شروع را نمایش می‌دهد. بر روی محور اعداد، این نقطه را مشخص می‌کنیم.

اکنون، باید یک مثلث قائم الزاویه رسم کنیم. جهت این مثلث به علامت پشت عدد رادیکالی بستگی دارد. به دلیل مثبت بودن علامت پشت رادیکال، جهت رسم مثلث به سمت راست خواهد بود. اندازه ساق‌های مثلث، با توجه به عدد زیر رادیکال تعیین می‌شود. باید اعدادی را پیدا کنیم که جمع مربع‌های آن‌ها برابر با عدد زیر رادیکال شود. این اعداد برابر با $$ ۱ $$ و $$ ۱ $$ هستند. زیرا:

$$ ۱ ^ ۲ + ۱ ^ ۲ = ۲ $$

پس به اندازه یک واحد، به سمت راست، یکی از ساق‌های مثلث قائم‌الزاویه را رسم می‌کنیم.

در انتهای ساق اول، ساق دوم را به صورت عمود رسم می‌کنیم.

با اتصال دو ساق، رسم وتر و مثلث قائم‌الزاویه، تکمیل می‌شود.

اکنون، به مرکز $$ – ۲ $$ و شعاع وتر مثلث، یک کمان را به گونه‌ای رسم می‌کنیم که محور اعداد را در سمت راست مثلث قطع کند.

محل تقاطع کمان با محور اعداد، عدد $$ \sqrt { ۲ } – ۲ $$ را نمایش می‌دهد. در ادامه این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در رابطه با ضرب و تقسیم رادیکال‌ها را به همراه حل مثال معرفی می‌کنیم.

خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها

مفهوم رادیکال، ارتباط بسیار نزدیکی با مفهوم اعداد توان‌دار دارد. فرمول های ضرب و تقسیم رادیکال‌ها را می‌توان به کمک ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار به دست آورد. به عنوان مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید:

$$ \sqrt { a b } $$

فرم توانی این عبارت به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$
\sqrt { a b } = ( a b ) ^ { \frac { ۱ } { ۲ } }
$$

عبارت توانی بالا، به صورت زیر نیز قابل بیان است:

$$ ( a b ) ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } = a ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } b ^ { \frac { ۱ } { ۲ } } $$

اکنون، اعداد توا‌ن‌دار بالا را به فرم رادیکالی بازمی‌گردانیم:

$$
\sqrt { a b } = \sqrt { a } \sqrt { b }
$$

رابطه بالا، جذر حاصل‌ضرب دو عدد را نمایش می‌دهد. به همین ترتیب، برای جذر حاصل تقسیم دو عدد، داریم:

$$
\sqrt { \frac{ a } { b } } = \frac { \sqrt { a } }{ \sqrt { b } }
$$

حاصل عبارت $$ \sqrt { \frac { ۴۹ \times ۲۵ }{ ۳۶ } } $$ را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

برای به دست آوردن حاصل $$ \sqrt { \frac { ۴۹ \times ۲۵ }{ ۳۶ } } $$، از قواعد ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار استفاده می‌کنیم. به این منظور، ابتدا فرم توانی اعداد زیر رادیکال را می‌نویسیم:

$$
\sqrt { \frac { ۴۹ \times ۲۵ }{ ۳۶ } } = \sqrt { \frac { ۷ ^ ۲ \times ۵ ^ ۲ }{ ۶ ^ ۲ } }
$$

$$
\sqrt { \frac { ۷ ^ ۲ \times ۵ ^ ۲ }{ ۶ ^ ۲ } } = \sqrt { \frac { ( ۷ \times ۵ )^ ۲ }{ ۶ ^ ۲ } } = \sqrt { \frac { ۳۵ ^ ۲ }{ ۶ ^ ۲ } }
$$

$$
\sqrt { \frac { ۳۵ ^ ۲ }{ ۶ ^ ۲ } } = \sqrt { \left ( \frac { ۳۵ }{ ۶ } \right ) ^ ۲ } = \frac { ۳۵ }{ ۶ }
$$

$$
\sqrt { \frac { ۴۹ \times ۲۵ }{ ۳۶ } } = \frac { ۳۵ }{ ۶ } = ۵/۸ \overline {۳ }
$$

مسیر یادگیری فرمول های ریاضی هشتم و دیگر دروس ریاضی

یادگیری فرمول های ریاضی هشتم و دیگر دروس ریاضی، کار دشواری نیست؛ اگر به صورت اصولی و با حل مثال‌های متنوع انجام شود. بهترین مسیر برای آشنایی و تسلط بر روی فرمول های ریاضی هشتم، مرور مباحث پایه هفتم، تمرین مباحث پایه هشتم و تکمیل آموخته‌ها در پایه نهم است. فرادرس، فیلم های آموزشی جامعی را برای دانش‌آموزان دوره‌های متوسطه تهیه کرده است که مسیر یادگیری را هموار و لذتبخش می‌کنند. لینک مشاهده این فیلم‌ها در ادامه آورده شده است:

  • فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی پایه هشتم فرادرس
  • فیلم آموزش ریاضی پایه نهم فرادرس
  • مجموعه فیلم‌های آموزش دروس پایه هشتم فرادرس
  • مجموعه فیلم‌های آموزش دروس دوره اول و دوم متوسطه فرادرس

در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث آمار و احتمال را معرفی می‌کنیم.

۸. آمار و احتمال: فرمول های فصل هشتم ریاضی هشتم

فصل هشتم ریاضی هشتم، مبحث آمار و احتمال را در قالب چهار درس با عناوین دسته‌بندی داده‌‌ها، میانگین داده‌ها، احتمال یا اندازه‌گیری شانس و بررسی حالت‌های ممکن آموزش می‌دهد. مهم‌ترین فرمول های آمار و احتمال ریاضی هشتم در جدول زیر آورده شده‌اند.

کمیت آماری فرمول پارامترها
دامنه تغییرات $$ Range(X) = Max (X) – Min ( X) $$ $$ Range ( X ) $$: دامنه تغییرات

$$ Max ( X ) $$: بزرگ‌ترین داده

$$ Min ( X ) $$: کوچک‌ترین داده

اختلاف بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده
میانگین $$
\overline{ x } = \frac { S } { n }
$$
$$ \overline{ x } $$: میانگین

S: مجموعه داده‌ها

n: تعداد داده‌ها

مرکز دسته مجموع کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین بازه دسته تقسیم بر $$ ۲ $$
احتمال رخ دادن پیشامد تعداد حالت‌های مطلوب تقسیم بر تعداد همه حالت‌های ممکن

برخی از تعاریف مهم این فصل، عبارت هستند از:

  • دامنه تغییرات: فاصله کمترین و بیشترین مقدار در میان داده‌های جمع‌آوری شده
  • فراوانی: تعداد داده‌های موجود در هر دسته‌بندی آماری
  • میانگین: حاصل تقسیم مجموع داده‌ها بر تعدادشان

دسته بندی داده ها

هنگام کار با داده‌های زیاد و پراکنده یا داده‌هایی که بررسی آن‌ها، به زمان زیادی نیاز دارد، داده‌ها را متناسب با موضوع آماری دسته‌بندی و سازماندهی می‌کنیم. این کار، به منظور سهولت نتیجه‌گیری و افزایش دقت خروجی‌ها انجام می‌شود. نمایش داده‌های دسته‌بندی شده، معمولا توسط انواع نمودارها نظیر نمودار میله‌ای، نمودار خط شکسته، نمودار دایره‌ای و نمودار تصویری صورت می‌گیرد.

برای دسته‌بندی داده‌ها و رسم نمودار آن‌ها، معمولا جدولی با عنوان جدول فراوانی ایجاد می‌شود. این جدول، حداقل دو ستون با عنوان‌های حدود دسته‌ها و فراوانی دارد. تعیین تعداد و حدود دسته‌ها، بر اساس پراکندگی داده‌ها و دامنه تغییرات آن‌ها (فاصله کمترین و بیشترین مقدار) انجام می‌گیرد.

داده‌های جدول زیر، قد دانش‌آموزان هشتم در یکی از کلاس‌های یک مدرسه را نمایش می‌دهند. این داده‌های را به پنج دسته تقسیم کنید و فراوانی هر دسته را بنویسید.

۱۶۵ ۱۵۹ ۱۵۶
۱۵۷ ۱۶۱ ۱۶۳
۱۶۸ ۱۵۷ ۱۵۴
۱۷۲ ۱۶۳ ۱۵۸
۱۷۱ ۱۶۱ ۱۵۷
۱۶۷ ۱۶۸ ۱۶۳
۱۵۳ ۱۵۲ ۱۵۹
۱۶۹ ۱۵۷ ۱۵۸
۱۶۹ ۱۵۳ ۱۷۰
۱۵۶ ۱۶۵ ۱۵۸
مشاهده جواب

داده‌های جدول، $$ ۳۰ $$ عدد هستند. برای اینکه داده‌ها را به پنج دسته تقسیم کنیم، ابتدا دامنه تغییرات آن‌ها را به دست می‌آوریم. کوچک‌ترین داده، برابر با $$ ۱۵۲ $$ و بزرگ‌ترین داده، برابر با $$ ۱۷۲ $$ است. بنابراین، دامنه تغییرات داده‌ها برابر است با:

کوچک‌ترین داده – بزرگ‌ترین داده = دامنه تغییرات

$$ ۱۵۲ – ۱۷۲ $$ = دامنه تغییرات

$$ ۲۰ $$ = دامنه تغییرات

دامنه تغییرات قد دانش‌آموزان برابر با $$ ۲۰ $$ است. برای به دست آوردن حدود هر دسته، این دامنه را بر عدد $$ ۵ $$ (تعداد دسته‌ها) تقسیم می‌کنیم:

$$ ۲۰ \div ۵ = ۴ $$

بنابراین، حدود هر دسته برابر با $$ ۴ $$ است. به این ترتیب، دسته‌های اول تا پنجم عبارت هستند از:

$$ ۱۵۲ \le x \lt ۱۵۶ $$

$$ ۱۵۶ \le x \lt ۱۶۰ $$

$$ ۱۶۰ \le x \lt ۱۶۴ $$

$$ ۱۶۴ \le x \lt ۱۶۸ $$

$$ ۱۶۸ \le x \le ۱۷۲ $$

تعداد داده‌های درون هر دسته را از جدول پیدا می‌کنیم و جدول فراوانی زیر را تشکیل می‌دهیم.

فراوانی حدود دسته‌ها
$$ ۴ $$ $$ ۱۵۲ \le x \lt ۱۵۶ $$
$$ ۱۱ $$ $$ ۱۵۶ \le x \lt ۱۶۰ $$
$$ ۵ $$ $$ ۱۶۰ \le x \lt ۱۶۴ $$
$$ ۳ $$ $$ ۱۶۴ \le x \lt ۱۶۸ $$
$$ ۷ $$ $$ ۱۶۸ \le x \le ۱۷۲ $$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، بیشتر دانش‌آموزان این کلاس، در بازه قدی $$ ۱۵۶ $$ تا $$ ۱۶۰ $$ سانتی‌متر قرار دارند. البته برای تحلیل دقیق‌تر قد دانش‌آموزان، باید متوسط قدها را نیز حساب کنیم.

میانگین داده ها

میانگین، کمیتی است که مانند جدول فراوانی، درک بهتری از داده‌ها را فراهم می‌کند. این کمیت به صورت تقسیم مجموع داده‌ها بر تعدادشان تعریف شده و با فرمول زیر نمایش داده می‌شود:

$$
\overline{ x } = \frac { S } { n }
$$

  • x: میانگین
  • S: مجموعه داده‌ها
  • n: تعداد داده‌ها

برای داده‌های زیاد و دسته‌بندی شده، امکان محاسبه سریع میانگین با تقریب خوب وجود دارد. این کار، با به دست آوردن مرکز دسته‌ها، ضرب مرکز دسته در فراوانی هر دسته، جمع حاصل‌ضرب‌های به دست آمده برای تمام دسته‌ها و تقسیم مجموع به دست آمده بر تعداد کل داده‌ها انجام می‌شود.

جدول زیر را تکمیل کنید و میانگین داده‌ها را به دست بیاورید.

مرکز × فراوانی مرکز دسته فراوانی دسته‌ها
۷ $$ ۰ \le x \lt ۴ $$
۴ $$ ۴ \le x \lt ۸ $$
۸ $$ ۸ \le x \lt ۱۲ $$
۱۶ $$ ۱۲ \le x \lt ۱۶ $$
۹ $$ ۱۶ \le x \le ۲۰ $$
مجموع
مشاهده جواب

برای به دست آوردن میانگین، ابتدا جدول را تکمیل می‌کنیم.

مرکز دسته × فراوانی مرکز دسته فراوانی دسته‌ها
$$ ۱۴ $$ $$ \frac { ۰ + ۴ } { ۲ } = ۲ $$ $$ ۷ $$ $$ ۰ \le x \lt ۴ $$
$$ ۲۴ $$ $$ \frac { ۴ + ۸ } { ۲ } = ۶ $$ $$ ۴ $$ $$ ۴ \le x \lt ۸ $$
$$ ۸۰ $$ $$ \frac { ۸ + ۱۲ } { ۲ } = ۱۰ $$ $$ ۸ $$ $$ ۸ \le x \lt ۱۲ $$
$$ ۲۲۴ $$ $$ \frac { ۱۲ + ۱۶ } { ۲ } = ۱۴ $$ $$ ۱۶ $$ $$ ۱۲ \le x \lt ۱۶ $$
$$ ۱۶۲ $$ $$ \frac { ۱۶ + ۲۰ } { ۲ } = ۱۸ $$ $$ ۹ $$ $$ ۱۶ \le x \le ۲۰ $$
$$ ۵۰۴ $$ $$ ۴۴ $$ مجموع

مقدار تقریبی میانگین، از تقسیم مجموع مقادیر ستون «مرکز دسته × فراوانی» بر مجموع مقادیر ستون «فراوانی» به دست می‌آید. این مقدار، تقریبا برابر است با:

$$ \overline{ x } \approx \frac { ۵۰۴ } { ۴۴ } \approx ۱۱/۴۵ $$

احتمال یا اندازه گیری شانس

احتمال، یکی از مفاهیم پرکاربرد ریاضی است که در زندگی روزمره نیز کاربردهای زیادی دارد. به عنوان مثال، وقوع پدیده‌هایی مانند بارش باران، توسط اصول و مفاهیم آمار و احتمال پیش‌بینی می‌شود. هنگام بالا انداختن یک سکه و قبل از رسیدن آن به زمین، نمی‌دانیم کدام سمت (پشت یا روی) سکه می‌آید. تنها چیزی که می‌دانیم این است که دو حالت وجود دارد. به این دو حالت، حالت‌های ممکن می‌گویند. هر حالت به طور جداگانه، به عنوان یک حالت مطلوب در نظر گرفته می‌شود. رو یا پشت آمدن سکه نیز یک پیشامد است. احتمال رخ دادن پیشامد، از رابطه زیر به دست می‌آید:

احتمال رخ دادن پیشامد

=

تعداد همه حالت‌های ممکن ÷ تعداد حالت‌های مطلوب

در مثال سکه، حالت‌های ممکن برابر با $$ ۲ $$ هستند و احتمال رخ دادن هر یک از حالت‌های ممکن، برابر با $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ است. یعنی، احتمال اینکه پشت سکه بیاید، برابر با $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ بوده و احتمال اینکه روی سکه بیاید نیز برابر با $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$ است.

درون یک کیسه، $$ ۶۰ $$ مهره با رنگ‌های مختلف وجود دارد. دست خود را درون کیسه می‌کنیم و یک مهره را بیرون می‌آوریم. احتمال اینکه مهره آبی بیرون بیاید، برابر با $$ \frac { ۱ } { ۱۰ } $$ است. چند مهره آبی درون کیسه وجود دارد؟

مشاهده جواب

برای به دست آوردن تعداد مهره‌های آبی، کافی است احتمال بیرون آمدن آن‌ها از درون کیسه را در تعداد کل مهره‌ها ضرب کنیم. به این ترتیب، داریم:

$$ ۶۰ \times \frac { ۱ } { ۱۰ } = \frac { ۶۰ } { ۱۰ } = ۶ $$

در نتیجه، $$ ۶ $$ مهره آبی درون کیسه وجود دارد.

بررسی حالت های ممکن

یکی از روش‌های تعیین احتمال یا اندازه‌گیری شانس یک پیشامد، بررسی تمام حالت‌های ممکن آن است.

پرتاب همزمان دو سکه را در نظر بگیرید. احتمال هر یک از حالت‌های ممکن برای رو یا پشت آمد پرتاب همزمان دو سکه را بنویسید.

  • هر دو سکه رو بیایند.
  • هر دو سکه پشت بیایند.
  • یک سکه رو بیاید و سکه دیگر پشت بیاید.
مشاهده جواب

اگر یکی از سکه‌ها را به عنوان سکه شماره $$ ۱ $$ و دیگری را به عنوان سکه شماره $$ ۲ $$ در نظر بگیریم، حالت‌های ممکن به صورت زیر نوشته می‌شوند:

  • هر دو سکه رو بیایند.
  • هر دو سکه پشت بیایند.
  • سکه شماره $$ ۱ $$ رو بیاید و سکه شماره $$ ۲ $$ پشت بیاید.
  • سکه شماره $$ ۲ $$ رو بیاید و سکه شماره $$ ۱ $$ پشت بیاید.

جدول زیر، این حالت‌ها به شکل بهتری نمایش می‌دهد.

پشت آمدن سکه شماره $$ ۲ $$ رو آمدن سکه شماره $$ ۲ $$
رو – پشت رو – رو رو آمدن سکه شماره $$ ۱ $$
پشت – پشت پشت – رو پشت آمدن سکه شماره $$ ۱ $$

تعداد حالت‌های ممکن برابر با $$ ۴ $$ است. پیشامد رو آمدن هر دو سکه (رو-رو)، یکی از این حالت‌ها را تشکیل می‌دهد. بنابراین، احتمال این پیشامد برابر است با:

$$ \frac { ۱ } { ۴ } $$

پیشامد پشت آمدن هر دو سکه (پشت – پشت) نیز شرایط مشابه بالا دارد. احتمال این پیشامد نیز برابر است با:

$$ \frac { ۱ } { ۴ } $$

پیشامد رو آمدن یک سکه و پشت آمد سکه دیگر (رو – پشت یا پشت – رو)، دو حالت از چهار حالت ممکن را تشکیل می‌دهد. از این‌رو، احتمال رخ دادن آن به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ \frac { ۲ } { ۴ } = \frac { ۱ } { ۲ } $$

با توجه به این نتاج، می‌توانیم بگوییم در صورت پرتاب همزمان دو سکه، به احتمال $$ \frac { ۱ } { ۲ } $$، یکی از سکه‌ها رو و دیگری پشت می‌آید.

در بخش بعدی این مطلب از مجله فرادرس، فرمول های ریاضی هشتم در مبحث دایره را معرفی می‌کنیم.

۹. دایره: فرمول های فصل نهم ریاضی هشتم

فصل نهم کتاب ریاضی پایه هشتم، به مبحث دایره و برخی از اصطلاحات مرتبط با آن از جمله خط مماس، زاویه مرکزی و زاویه محاطی می‌پردازد. در این فصل از ریاضی هشتم نیز فرمول های زیادی معرفی نشده اما مفاهیم مهمی در رابطه با دایره مورد بررسی قرار گرفته است.

فیلم آموزش ریاضی – پایه هشتم در فرادرس

کلیک کنید

جدول زیر، خلاصه‌ای از اصطلاحات و مهم این فصل را نمایش می‌دهد.

عنوان توضیح
خط مماس خطی که محیط دایره را تنها در یک نقطه قطع می‌کند.
زاویه مرکزی زاویه‌ای که راس آن، مرکز دایره و ضلع‌های آن، دو شعاع دایره است.
زاویه محاطی زاویه‌ای که راس آن، بر روی کمان دایره قرار می‌گیرد و ضلع‌های آن، دو وتر دایره را تشکیل می‌دهد.
وتر پاره‌خطی که دو نقطه روی محیط دایره را به هم وصل می‌کند. قطر دایره، بزرگ‌ترین وتر آن است.
رابطه زاویه مرکزی و کمان روبه‌رو اندازه زاویه مرکزی، برابر با اندازه کمان روبه‌روی آن است.
رابطه زاویه محاطی و کمان روبه‌رو اندازه زاویه محاطی، نصف اندازه کمان روبه‌روی آن است.

در ادامه، به مرور مطالب ارائه شده در هر یک از درس‌های فصل آخر کتاب ریاضی هشتم می‌پردازیم.

مطلب پیشنهادی:

دایره چیست ؟ — تعریف و مفاهیم به زبان ساده + فیلم آموزش رایگان

شروع مطالعه


خط و دایره

شکل دایره، منحنی بسته‌ای است که تمام نقاط تشکیل‌دهنده آن، از یک نقطه ثابت بر روی صفحه، به یک اندازه فاصله دارند. اگر خطی را به گونه‌ای رسم کنیم که تنها یک نقطه مشترک با دایره داشته باشد، می‌گوییم خط بر دایره مماس است. تصویر زیر، سه وضعیت مختلف یک خط و دایره را نمایش می‌دهد.

از راست به چپ: خط متقاطع با دایره (دو نقطه مشترک)، خط مماس بر دایره (یک نقطه مشترک)، خط متخارج (بدون نقطه مشترک)

شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود است. این نکته، در مسائل تعیین زاویه داخلی با استفاده از مفهوم خط و دایره کاربرد دارد.

در شکل زیر، خط $$ PQ $$ بر دایره مماس است. زاویه $$ x $$ را پیدا کنید.

مشاهده جواب

برای به دست آوردن زاویه $$ x $$، از ویژگی‌های خط مماس بر دایره استفاده می‌کنیم. خط $$ OT $$، از مرکز دایره به نقطه تماس خط $$ PQ $$ وصل شده است. از آنجایی که مماس (خط $$ PQ $$)، محیط دایره را تنها در یک نقطه قطع می‌کند، خط $$ OT $$، شعاع دایره خواهد بود. از طرف دیگر، می‌دانیم که شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود است. به این ترتیب، $$ \angle {O T A} $$، زاویه قائمه خواهد بود.

با توجه به فرمول مجموع زوایه‌های داخلی چندضلعی‌ها، می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی یک مثلث برابر با $$ ۱۸۰ ^ { \circ } $$ است. بنابراین، برای $$ \triangle {Q O T} $$، داریم:

$$ \angle {Q O T} + \angle {T Q O} + \angle {O T Q} = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

مقدار زاویه‌های $$ \angle {T Q O} $$ و $$ \angle {O T Q} $$ را درون رابطه بالا قرار می‌دهیم:

$$ \angle {T Q O} = ۳۵ ^ { \circ } $$

$$ \angle {O T Q} = ۹۰ ^ { \circ } $$

$$ \angle {Q O T} + ۳۵ ^ { \circ } + ۹۰ ^ { \circ } = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

$$ \angle {Q O T} + ۱۲۵ ^ { \circ } = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

$$ \angle {Q O T} = ۱۸۰ ^ { \circ } – ۱۲۵ ^ { \circ } $$

$$ \angle {Q O T} = ۵۵ ^ { \circ } $$

در نتیجه، زاویه $$ x $$ برابر با $$ ۵۵ $$ درجه است.

به عنوان نکات نهایی این بخش، در نظر داشته باشید:

  • خطی که از مرکز دایره بر وتر می‌شود، آن وتر را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.
  • پاره‌خطی که از مرکز دایره را به وسط وتر وصل می‌کند، بر وتر عمود است.
  • پاره‌خطی که از مرکز دایره بر وتر عمود می‌شود و آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند، عمود منصف وتر است.

زاویه های مرکزی

زاویه‌های مرکزی، زاویه‌هایی هستند که راس‌شان بر روی مرکز دایره قرار دارد و ضلع‌هایشان، شعاع‌های دایره محسوب می‌شوند. در مطالعه زاویه‌‌های مرکزی، مفهوم کمان دایره نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. اندازه کمان روبه‌روی یک زاویه‌ی مرکزی، با اندازه آن زاویه برابر است. بنابراین، ممکن است چند کمان با اندازه‌های برابر، طول‌های نابرابر داشته باشند. به عنوان مثال، در دایره‌های هم‌مرکز، اندازه تمام کمان‌های روبه‌روی یک زاویه مرکزی، برابر خواهد بود اما طول هر کمان با کمان دیگر تفاوت خواهد داشت. طول کمان، به محیط دایره بستگی دارد و از فرمول زیر به دست می‌آید:

($$ ۳۶۰ ^ { \circ } } $$ ÷ اندازه کمان) × محیط دایره = طول کمان

اندازه کمان و زاویه‌های مجهول را پیدا کنید. نقطه $$ O $$، مرکز دایره و ضلع $$ AB $$، مماس بر دایره است.

مشاهده جواب

در این مثال، تنها اندازه کمان بزرگ $$ \overparen{\mathrm{ A D }} $$ را داریم. اندازه این کمان برابر با $$ ۲۹۰ ^ { \circ } $$ است. از روی این پارامتر معلوم می‌توانیم اندازه کمان کوچک $$ \overparen{\mathrm{ A D }} $$ را نیز به دست بیاوریم. می‌‌دانیم اندازه مجموع کمان‌های دایره برابر با $$ ۳۶۰ ^ { \circ } $$ است. بنابراین:

$$ \overparen{\mathrm{ A D }} + ۲۹۰ ^ { \circ } = ۳۶۰ ^ { \circ } $$

$$
\overparen{\mathrm{ A D }} = ۳۶۰ ^ { \circ } – ۲۹۰ ^ { \circ } = ۷۰ ^ { \circ }
$$

زاویه به دست آمده، اندازه کمان روبه‌روی زاویه مجهول $$ x $$ را نمایش می‌دهد. اکنون، دیگر اطلاعات مسئله را مورد بررسی قرار می‌دهیم. بر اساس صورت مسئله، نقطه $$ O $$، مرکز دایره است. بنابراین، زاویه $$ x $$، یک زاویه مرکزی است. از طرفی، می‌دانیم که اندازه کمان روبه‌روی یک زاویه‌ی مرکزی، با اندازه آن زاویه برابر است. در نتیجه:

$$ x = ۷۰ ^ { \circ } $$

با توجه به صورت مسئله، ضلع $$ AB $$، مماس بر دایره است. $$ x $$، یک زاویه مرکزی است. در زاویه‌های مرکزی، ضلع‌ها، شعاع‌های دایره محسوب می‌شوند. از طرفی، شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود است. بنابراین، $$ \triangle { A O B} $$، یک مثلث قائم‌الزاویه است.

مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر با $$ ۱۸۰ $$ درجه است. بنابراین:

$$ y + ۷۰ ^ { \circ } + ۹۰ ^ { \circ } = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

$$ y + ۱۶۰ ^ { \circ } = ۱۸۰ ^ { \circ } $$

$$ y = ۱۸۰ ^ { \circ } – ۱۶۰ ^ { \circ } $$

$$ y = ۲۰ ^ { \circ } $$

زاویه های محاطی

زاویه‌های محاطی، زاویه‌هایی هستند که راس‌شان روی محیط دایره قرار می‌گیرد و ضلع‌های آن، محیط دایره را قطع می‌کنند. اندازه زاویه محاطی برابر با نصف اندازه کمان مقابل به آن است. بنابراین اگر یک زاویه محاطی و یک زاویه مرکزی، هر دو در مقابل یک کمان قرار گرفته باشند، اندازه زاویه محاطی، نصف اندازه زاویه مرکزی خواهد بود.

اندازه زاویه‌ها و کمان‌های مجهول را به دست بیاورید.

مشاهده جواب

با توجه به تصویر، اندازه زاویه محاطی روبه‌روی کمان $$ \overparen{\mathrm{ A B }} $$ را داریم. این اندازه برابر با $$ ۵۷ $$ درجه است. اندازه زاویه محاطی دایره، نصف کمان مقابل به آن است. بنابراین، اندازه کمان $$ \overparen{\mathrm{ A B }} $$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$
\angle { A C B} = \frac { \overparen{\mathrm{ A B }} } { ۲ }
$$

$$
۵۷ ^ { \circ } = \frac { \overparen{\mathrm{ A B }} } { ۲ }
$$

$$
\overparen{\mathrm{ A B }} = ۲ \times ۵۷ ^ { \circ }
$$

$$
\overparen{\mathrm{ A B }} = ۱۱۴ ^ { \circ }
$$

به این ترتیب، اندازه کمان $$ \overparen{\mathrm{ A B }} $$ را برابر با $$ ۱۱۴ $$ درجه به دست آوردیم. این کمان، روبه‌روی زاویه مرکزی $$ e $$ یا $$ \angle { A O B} $$ و زاویه محاطی $$ d $$ یا $$ \angle { A D B} $$ قرار دارد. اندازه زاویه مرکزی برابر با اندازه کمان روبه‌روی آن است. بنابراین:

$$ e = \angle { A O B} = \overparen{\mathrm{ A B }} $$

$$ e = ۱۱۴ ^ { \circ } $$

اندازه زاویه محاطی نیز نصف اندازه کمان روبه‌روی آن است. در نتیجه:

$$ d = \angle { A D B} = \frac { \overparen{\mathrm{ A B }} } { ۲ } $$

$$ d = \frac { ۱۱۴ ^ { \circ }} { ۲ } = ۵۷ ^ { \circ } $$

نوشته فرمول های ریاضی هشتم در یک نگاه و با مثال اولین بار در فرادرس – مجله‌. پدیدار شد.